Открытия и гипотезы, 2015 №04 - Журнал «Открытия и гипотезы»

Страница из книги аль-Хорезми.

В Центральной Америке в основном использовалась двадцатиричная система счисления. Жрецы майя использовали её для календарных расчётов. В ней второй разряд был неполным и доходил только до 19. В качестве дополнительного основания использовалось число 5. Календарь майя представлял собой позиционную систему, где на каждой позиции располагалось божество с определённым количеством знаков. При письме божества не изображали, а для обозначения пустого разряда использовали символ в виде открытой раковины или глаза. В Южной Америке для записи чисел использовалась узловая нумерация, или кипу.

Арифметические расчёты проводились с помощью юпаны, которая представляет собой аналог абака, однако в связи с особенностями системы счисления арифметика, не связанная с астрономическими расчётами, получила слабое развитие.

В эпоху раннего феодализма в Западной Европе потребности в науке не выходили за пределы вопросов практической арифметики и геометрии. Книги содержали начальные сведения о семи свободных искусствах, включая арифметику. Наиболее популярными были сочинения Боэция, датируемые VI веком, который в числе прочего перевёл на латинский язык «Арифметику» Никомаха с собственными числовыми примерами и часть «Начал» Евклида без строгих доказательств.

Через Испанию и Сицилию в X веке начали завязываться научные связи с арабским миром В это время Каталонию посетил учёный монах Герберт, ставший позднее папой Сильвестром II. Ему приписываются такие сочинения, как «Книжка о делении чисел» и «Правила счёта на абаке».

В XII–XIII веках в Европе появились латинские переводы арабских книг по арифметике.

Основные переводы были сделаны на территории Пиренейского полуострова в Толедо под покровительством архиепископа Раймонда I, а также в Барселоне и Сеговии Приверженцы представленной в книгах десятичной позиционной нумерации стали называться «апгористами» по имени математика ал-Хорезми в латинской форме. Постепенно новая система взяла верх. Основным её преимуществом явилось упрощение арифметических операций. Вместе с тем в Германии, Франции и Англии новые цифры не употреблялись до конца XV века.

Далее переводов пошёл итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи), живший в XIII веке. В своём основном труде «Книга абака», написанном в 1202 году, он тоже выступил сторонником индийской системы нумерации. Пять глав книги посвящены арифметике целых чисел.

Фибоначчи использовал нуль как настоящее число, проводил проверку с помощью девятки, знал признаки делимости на 2, 3, 5, 9, приводил дроби к общему знаменателю с помощью наименьшего общего кратного знаменателей, излагал тройное правило, правила пяти, семи, девяти величин и другие правила пропорций, решал задачи на смешение, оперировал суммированием рядов, включая один из возвратных рядов, или ряд Фибоначчи, разъяснял способы приближённого вычисления квадратных и кубических корней. В «Книге абака» приводятся вместе с доказательствами разнообразные методы и задачи, которые широко использовались в сочинениях поздних математиков.

Преподавателю Оксфордского университета магистру Томасу Брадвардину (начало XIV века), ставшему впоследствии архиепископом Кентерберийским, принадлежит книга «Теоретическая арифметика», которая является сокращённым вариантом «Арифметики» Боэция. Кроме того, этот мыслитель в своих работах по механике использовал «половинное» отношение, на основе которого французский математик Николай Орем развил учение о дробных показателях степеней в своём трактате «Алгоризм отношений», а также подошёл к понятию иррационального показателя, которое можно заключать между достаточно близкими целыми и дробными, и осуществил обобщение возведения в степень на положительные дробные показатели.

Работы Орема были напечатаны только в XIX веке.

Именно в Европе математика обрела ту форму, которая нам известна со школьной скамьи. Цифры, система их написания и манипуляций ими, прошли длинный путь от зарубок на кости до высшей математики, которая понятна не многим. Подсчет количества выпасаемых гусей и вычисление траектории полёта космического зонда имеют одни и те же корни. Удивительно как далеко могла шагнуть наука за столь небольшой по историческим меркам промежуток времени.

Игорь Остин

Реконструкция римского абака.

Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами, которые являются очень своеобразной формой демонстрации математических закономерностей. И это не удивительно. “Гимнастика ума” полезна в любом возрасте, она тренирует память, обостряет сообразительность, вырабатывает настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять.

Еще в Древней Элладе без игр не мыслилось гармоническое развитие личности. И игры древних не были только спортивными. Наши предки знали шахматы и шашки, не чужды им были ребусы и загадки. Таких игр во все времена не чуждались ученые, мыслители, педагоги. Они и создавали их.

Латинский перевод «Начал» Евклида (XIV век).

Предсказание числа

Возможно, самый старинный из фокусов с предсказанием числа состоит в том, что кого-нибудь просят задумать число, проделать над ним ряд операций и затем объявить результат; после этого оказывается, что названное число совпадает с записанным в предсказании. На тривиальном примере фокус выглядит так: зрителя просят задумать число, затем удвоить его, прибавить к произведению 8, разделить полученное число пополам и, наконец, вычесть задуманное число. В ответе всегда будет половина того числа, которое вы велели прибавить В нашем случае прибавлялось 8, поэтому в ответе будет 4. Если бы зрителю предложили прибавить 10, в ответе оказалось бы 5.

Важное событие

Более интересный фокус этого типа начинают с того, что зрителя просят записать год своего рождения и прибавить к нему год какого-нибудь выдающегося события в его жизни. К полученной сумме он должен будет добавить еще свой возраст и, наконец, число лет, прошедших с года знаменательного события. Только немногие сообразят, что сумма этих четырех чисел всегда будет равняться удвоенному числу, обозначающему текущий год. Таким образом, вы, конечно, можете предсказать эту сумму наперед.

Число Шахерезады

Напишите на бумажке (не показывая) трехзначное число, а затем припишите еще раз то же самое число. Полученное шестизначное число разделите сами (или предложите любому другому) разделить, не показывая, без остатка на 7. Результат деления еще раз разделите сами (или передав другому) без остатка на 11, а затем на 13. После троекратного деления должно получиться загаданное число.

«Число из любимой цифры»

Скажите, у кого какая любимая цифра (например, 5). Выполните умножение числа 15873 на 35 (любимая цифра, умноженная на 7) или числа 12345679 на 45 (любимая цифра, умноженная на 9). Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Угадывание чисел на игральных костях

Зрителю предоставляется возможность бросить три игральных кости на стол, и запомнить каждое выпавшее на грани число. Для большей уверенности, их можно записать на листке.

Первое число, которое выпало на игральной кости. зрителю необходимо увеличить в два раза, а к полученному результату прибавить цифру 5.

Получившееся число далее нужно умножить на 5. и прибавить к числу, которое выпало на второй игральной кости. Результат умножается на 10.

К результату необходимо прибавить число третьей игральной кости. После этого, зритель называет конечное, и фокусник сразу же, так же, не смотря на листик, называет правильный ответ, т. е., все три числа, выпавшие на костях.

Секрет этого математического фокуса крайне прост. В конце, когда зритель называет конечное число, фокуснику нужно просто отнять от него 250. Получившийся трехзначный результат — это и есть те самые три искомые цифры, выпавшие на игральных костях.

Угадывание дня рождения

Фокусник предлагает выполнить следующие действия: "Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось". Теперь "фокуснику" осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна — номер месяца, а последние две цифры — число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.