Большая Советская Энциклопедия (ТЕ) - БСЭ БСЭ

  Т. э. связан с изменением межатомных расстояний при деформации, что влечёт за собой изменение структуры энергетических зон кристалла. Последнее обусловливает изменение концентрации носителей тока (электронов проводимости, дырок), их эффективной массы, перераспределение их между энергетическими максимумами в зоне проводимости и минимумами в валентной зоне. Кроме того, деформация влияет на процессы рассеяния носителей (появление новых дефектов, изменение фононного спектра). Т. э. применяется в тензодатчиках сопротивлений, служащих для измерения деформаций.

  Лит.: Блатт Фр. Д ж., Физика электронной проводимости в твердых телах, пер. с англ., М., 1971; Киреев П. С., Физика полупроводников, М., 1969: Ильинская Л. С., Подмарьков А. Н., Полупроводниковые тензодатчики, М.— Л., 1966; Глаговский Б. А., Пивен И. Д., Электротензометры сопротивления, 2 изд., Л., 1972.

  Б. А. Аронзон.

Тензорное исчисление

Те'нзорное исчисле'ние, математическая теория, изучающая величины особого рода — тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц . Т. и. широко применяется в дифференциальной геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки.

  Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами — равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (масса, температура и т. д.), описываются одним числом, причём значение этих величин не изменяется при переходе от одной системы координат к другой (мы рассматриваем здесь физические явления с точки зрения классической физики). Другие величины — векторные (сила, скорость и т. д.), описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по определённому закону. Наряду со скалярными и векторными величинами встречаются во многих вопросах физики и геометрии величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой более сложен, чем для векторов (точные определения будут даны ниже). При введении координатной системы, помимо чисел, описывающих сам объект или физическое явление, появляются числа, описывающие его связь с выбранной системой координат. Рассмотрим, например, совокупность чисел Jij (i, j = 1, 2, 3), где Jij   — осевой момент инерции твёрдого тела относительно оси Xi , a Jij , (при i ¹j ) — центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевой момент инерции Jii меняется (так как меняется положение оси xi относительно тела), а потому Jii не может рассматриваться как физическая величина, имеющая независимый от выбора системы координат смысл. Это находит своё выражение, например, в том, что знание Jii в одной системе координат не позволяет найти Jii в другой системе координат. В то же время совокупность всех чисел Jij имеет смысл, независимый от выбора координатной системы. Знание всех чисел Jij в одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле  ( и  — некоторые числа): здесь, как принято в Т. и., опущен знак суммы и считается, что если один и тот же индекс встречается дважды (один раз наверху, а другой раз внизу), то по нему производится суммирование, причём этот индекс принимает все возможные для него значения (в приведённом примере — значения 1, 2, 3). Т. и., как и векторное исчисление, является математическим аппаратом, при котором исключается влияние выбора координатной системы. Это достигается тем, что задание компонент тензора в какой-либо системе координат определяет их во всех других системах координат. В Т. и. указываются методы получения соотношений между тензорами и функций от компонент тензоров, не меняющихся при переходе от одной системы координат к другой (инвариантных соотношений и инвариантов).

  Т. о., одной из основных задач Т. и. является нахождение аналитических формулировок законов механики, геометрии, физики, не зависящих от выбора координатной системы.

  1. Тензоры в прямоугольных координатах. Величины, которые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном пространстве 3k числами   (ir = 1, 2, 3) и при замене системы координат (x1 , x2 , x3 ) системой (x’1 , x’2 , x’3 ) заменяются числами  по формулам:

  , (1)

где , называются тензорными величинами, а определяющие их системы чисел — тензорами в прямоугольных координатах (иногда тензорами называют также и сами тензорные величины). Число k называется валентностью (рангом) тензора, числа — его компонентам и (координатами). Аналогичным образом определяются тензоры в пространстве любого числа измерений.

  Примеры тензоров: если координаты вектора а обозначить ai (i = 1, 2, 3), то числа а , образуют тензор первой валентности. Любым двум векторам а = {ai } и b ={bi } соответствует тензор с компонентами pij = ai . bj . Этот тензор называется диадой. Если a (x1 , x2 , x3 ) — некоторое векторное поле , то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами . Он называется производной вектора а = {ai} по вектору r {x1 , x2 , хз } (обозначается также через ). Упомянутая выше совокупность чисел Jij образует тензор второй валентности (тензор инерции).

  2. Тензоры второй валентности. В приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов), чаще всего встречаются тензоры второй валентности.

  Если pij = pji , то тензор называется симметрическим, а если pij = –pji , то — кососимметрическим (антисимметрическим). Симметрический тензор имеет шесть существенных компонент, а кососимметрический — три: ; ;  . При этом компоненты w1 , w2 , w3 преобразуются как компоненты псевдовектора (см. Осевой вектор ). Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрические тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять , , , то получится тензор, называемый единичным тензором. Компоненты этого тензора обозначаются при помощи Кронекера символа dij . Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор — симметрические. Всякий тензор единственным образом разлагается на сумму симметрических и кососимметрических тензоров. Если а (r ) — вектор смещения частиц упругого тела при малой деформации, то симметрическая часть  называется тензором деформации; кососимметрическая часть  соответствует псевдовектору  (см. Вихрь векторного поля).

Тензор  является симметрическим только в том случае, когда поле а (r ) потенциально (см. Потенциальное поле ). Разложение тензора  на симметрические и кососимметрические части соответствует разложению относительного смещения da на чистую деформацию и на поворот тела как целого.

  Инвариантами тензора называются функции от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером инварианта является след тензора p11 + p22 + p33 . Так, для тензора инерции он равен удвоенному полярному моменту инерции относительно начала координат, для тензора  —  дивергенции векторного поля a (r ) и т. д