Изучай Haskell во имя добра! - Миран Липовача

Эти «хлебные крошки» уже содержат все сведения, необходимые для воссоздания дерева, по которому мы прошли. Теперь это не обычные «хлебные крошки» – они больше похожи на дискеты, которые мы оставляем при перемещении, потому что они содержат гораздо больше информации, чем просто направление, по которому мы шли!

В сущности, каждая такая «хлебная крошка» – как узел дерева, имеющий отверстие. Когда мы двигаемся вглубь дерева, в «хлебной крошке» содержится вся информация, которая имелась в покинутом нами узле, за исключением поддерева, на котором мы решили сфокусироваться. Нужно также указать, где находится отверстие. В случае со значением LeftCrumb нам известно, что мы переместились влево, так что отсутствующее поддерево – правое.

Давайте также изменим наш синоним типа Breadcrumbs, чтобы отразить это:

type Breadcrumbs a = [Crumb a]

Затем нам нужно изменить функции goLeft и goRight, чтобы они сохраняли информацию о путях, по которым мы не пошли, в наших «хлебных крошках», а не игнорировали эту информацию, как они делали это раньше. Вот новое определение функции goLeft:

goLeft :: (Tree a, Breadcrumbs a) –> (Tree a, Breadcrumbs a)

goLeft (Node x l r, bs) = (l, (LeftCrumb x r):bs)

Как вы можете видеть, она очень похожа на нашу предыдущую функцию goLeft, но вместо того чтобы просто добавлять код L в «голову» нашего списка «хлебных крошек», мы добавляем туда значение LeftCrumb, чтобы показать, что мы пошли влево. Мы также снабжаем наше значение LeftCrumb элементом узла, из которого мы переместились (то есть значением x), и правым поддеревом, которое мы решили не посещать.

Обратите внимание: эта функция предполагает, что текущее дерево, находящееся в фокусе, – не Empty. Пустое дерево не содержит никаких поддеревьев, поэтому если мы попытаемся пойти влево из пустого дерева, возникнет ошибка. Причина в том, что сравнение значения типа Node с образцом будет неуспешным, и нет образца, который заботится о конструкторе Empty.

Функция goRight аналогична:

goRight :: (Tree a, Breadcrumbs a) –> (Tree a, Breadcrumbs a)

goRight (Node x l r, bs) = (r, (RightCrumb x l):bs)

Ранее мы могли двигаться влево или вправо. То, чем мы располагаем сейчас, – это возможность действительно возвращаться вверх, запоминая информацию о родительских узлах и путях, которые мы не посетили. Вот определение функции goUp:

goUp :: (Tree a, Breadcrumbs a) –> (Tree a, Breadcrumbs a)

goUp (t, LeftCrumbx r:bs) = (Node x t r, bs)

goUp (t, RightCrumb x l:bs) = (Node x l t, bs)

Мы фокусируемся на дереве t и проверяем последнее значение типа Crumb. Если это значение равно LeftCrumb, мы строим новое дерево, используя наше дерево t в качестве левого поддерева и информацию о правом поддереве и элементе, которые мы не посетили, чтобы заполнить остальные части Node. Поскольку мы «переместились обратно» и подняли последнюю «хлебную крошку», а затем использовали её, чтобы воссоздать родительское дерево, в новом списке эта «хлебная крошка» не содержится.

Обратите внимание, что данная функция вызывает ошибку, если мы уже находимся на вершине дерева и хотим переместиться выше. Позже мы используем монаду Maybe, чтобы представить возможную неудачу при перемещении фокуса.

С парой, состоящей из значений типов Tree a и Breadcrumbs a, у нас есть вся необходимая информация для восстановления дерева; кроме того, у нас есть фокус на поддереве. Эта схема позволяет нам легко двигаться вверх, влево и вправо.

Пару, содержащую часть структуры данных в фокусе и её окружение, называют застёжкой, потому что перемещение нашего фокуса вверх и вниз по структуре данных напоминает работу застёжки-молнии на брюках. Поэтому круто будет создать такой синоним типа:

type Zipper a = (Tree a, Breadcrumbs a)

Я бы предпочёл назвать этот синоним типа Focus, поскольку это наглядно показывает, что мы фокусируемся на части структуры данных. Но так как для описания такой структуры чаще всего используется имя Zipper, будем придерживаться его.

Манипулируем деревьями в фокусе

Теперь, когда мы можем перемещаться вверх и вниз, давайте создадим функцию, изменяющую элемент в корне поддерева, на котором фокусируется застёжка.

modify :: (a –> a) –> Zipper a –> Zipper a

modify f (Node x l r, bs) = (Node (f x) l r, bs)

modify f (Empty, bs) = (Empty, bs)

Если мы фокусируемся на узле, мы изменяем его корневой элемент с помощью функции f. Фокусируясь на пустом дереве, мы оставляем его как есть. Теперь мы можем начать с дерева, перейти куда захотим и изменить элемент, одновременно сохраняя фокус на этом элементе, чтобы можно было легко переместиться далее вверх или вниз. Вот пример:

ghci> let newFocus = modify (_ –> 'P') (goRight (goLeft (freeTree, [])))

Мы идём влево, затем вправо, а потом изменяем корневой элемент, заменяя его на 'P'. Если мы используем оператор –:, это будет читаться ещё лучше:

ghci> let newFocus = (freeTree, []) –: goLeft –: goRight –: modify (_ –> 'P')

Затем мы можем перейти вверх, если захотим, и заменить имеющийся там элемент таинственным символом 'X':

ghci> let newFocus2 = modify (_ –> 'X') (goUp newFocus)

Либо можем записать это, используя оператор –: следующим образом:

ghci> let newFocus2 = newFocus –: goUp –: modify (_ –> 'X')

Перемещаться вверх просто, потому что «хлебные крошки», которые мы оставляем, формируют часть структуры данных, на которой мы не фокусируемся, но она вывернута наизнанку подобно носку. Вот почему когда мы хотим переместиться вверх, нам не нужно начинать с корня и пробираться вниз. Мы просто берём верхушку нашего вывернутого наизнанку дерева, при этом выворачивая обратно его часть и добавляя её в наш фокус.

Каждый узел имеет два поддерева, даже если эти поддеревья пусты. Поэтому, фокусируясь на пустом поддереве, мы по крайней мере можем сделать одну вещь: заменить его непустым поддеревом, таким образом прикрепляя дерево к листу. Код весьма прост:

attach :: Tree a –> Zipper a –> Zipper a

attach t (_, bs) = (t, bs)

Мы берём дерево и застёжку и возвращаем новую застёжку, фокус которой заменён переданным деревом. Можно не только расширять деревья, заменяя пустые поддеревья новыми, но и заменять существующие поддеревья. Давайте прикрепим дерево к дальнему левому краю нашего дерева freeTree:

ghci> let farLeft = (freeTree, []) –: goLeft –: goLeft –: goLeft –: goLeft

ghci> let newFocus = farLeft –: attach (Node 'Z' Empty Empty)

Значение newFocus теперь сфокусировано на дереве, которое мы только что прикрепили, а остальная часть дерева находится в «хлебных крошках» в вывернутом наизнанку виде. Если бы мы использовали функцию goUp для прохода всего пути к вершине дерева, оно было бы таким же деревом, как и freeTree, но с дополнительным символом 'Z' на дальнем левом краю.

Идём прямо на вершину, где воздух чист и свеж!

Создать функцию, которая проходит весь путь к вершине дерева, независимо от того, на чём мы фокусируемся, очень просто. Вот она:

topMost :: Zipper a –> Zipper a

topMost (t, []) = (t, [])

topMost z = topMost (goUp z)

Если наша расширенная тропинка из «хлебных крошек» пуста, это значит, что мы уже находимся в корне нашего дерева, поэтому мы просто возвращаем текущий фокус. В противном случае двигаемся вверх, чтобы получить фокус родительского узла, а затем рекурсивно применяем к нему функцию topMost.

Итак, теперь мы можем гулять по нашему дереву, двигаясь влево, вправо и вверх, применяя функции modify и attach во время нашего путешествия. Затем, когда мы покончили с нашими изменениями, используем функцию topMost, чтобы сфокусироваться на вершине дерева и увидеть произведённые нами изменения в правильной перспективе.

Фокусируемся на списках

Застёжки могут использоваться почти с любой структурой данных, поэтому неудивительно, что они работают с подсписками списков. В конце концов, списки очень похожи на деревья, только узел дерева содержит (или не содержит) элемент и несколько поддеревьев, а узел списка – элемент и лишь один подсписок. Когда мы реализовывали свои собственные списки в главе 7, то определили наш тип данных вот так:

data List a = Empty | Cons a (List a) deriving (Show, Read, Eq, Ord)

Сравните это с определением нашего бинарного дерева – и легко увидите, что списки можно воспринимать в качестве деревьев, где каждый узел содержит лишь одно поддерево.

Список вроде [1,2,3] может быть записан как 1:2:3:[]. Он состоит из «головы» списка равной 1 и «хвоста», который равен 2:3:[]. 2:3:[] также имеет «голову», которая равна 2, и «хвост», который равен 3:[]. Для 3:[] «голова» равна 3, а «хвост» является пустым списком [].