Великая Теорема Ферма - Саймон Сингх

- Следовательно, независимо от расположения домино на шахматной доске, первые 30 костей, выложенных на доску, должны покрыть 30 белых и 30 черных полей.

- Это означает, что при любом раскладе всегда останется одна домино и два непокрытых черных поля.

- Но любая кость домино покрывает на шахматной доске два смежных поля, а смежные поля всегда отличаются по цвету. Два оставшихся непокрытыми поля одного цвета, и поэтому накрыть их одной костью домино невозможно. Следовательно, покрыть эту доску 31 костью домино невозможно!

Приведенное выше доказательство показывает, что шахматную доску с двумя выпиленными по диагонали угловыми полями невозможно покрыть домино при любом расположении костей. Аналогичным образом, Пифагор создал доказательство, из которого следует, что любой прямоугольный треугольник удовлетворяет его теореме. Для Пифагора понятие математического доказательства было священным, и именно математическое доказательство позволило пифагорейскому братству открыть так много. Большинство современных доказательств невероятно сложны, и разобраться в них неспециалисту просто не по силам. В случае теоремы Пифагора ход рассуждений, к счастью, достаточно прост и опирается только на математику, которую изучают в средней школе. Доказательство теоремы Пифагора изложено в Приложении 1.

Доказательство Пифагора неопровержимо. Оно показывает, что теорема Пифагора выполняется для любого прямоугольного треугольника во Вселенной. Открытие это так потрясло Пифагора, что он в благодарность принес в жертву богам сто быков. [1] Оно стало вехой в развитии математики и одним из самых важных прорывов в истории цивилизации. Значение этого открытия было двояким.

Во-первых, оно позволило сформулировать представление о том, что такое доказательство. Доказанный математический результат обладает более глубокой истинностью, чем любая другая истина, поскольку получен шаг за шагом с помощью логических рассуждений. Хотя философ Фалес Милетский еще до работ Пифагора использовал несколько простых геометрических доказательств, Пифагор развил идею математического доказательства гораздо дальше и сумел доказать более хитроумные математические утверждения.

Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает связь между абстрактным математическим методом и чем-то осязаемым. Пифагор показал, что математическая истина приложима к физическому миру и служит его логическим основанием. Математика дает физике строгое начало, а затем, к этому незыблемому основанию физики добавляются наблюдения и измерения, отягощенные ошибками.

Бесконечное количество пифагоровых троек

Пифагорейцы своим страстным поиском истины с помощью доказательства вдохнули в математику живительную силу. Вести о достигнутых ими успехах распространились по всему Древнему Миру, хотя подробности своих открытий пифагорейцы хранили в строгой тайне. От желающих проникнуть в святилище знания не было отбоя, но только самые блестящие умы могли рассчитывать на прием в братство. Один из тех, кому ответили отказом, был кандидат по имени Силон. Он затаил обиду на унизительный отказ и спустя двадцать лет взял реванш.

Во время шестьдесят седьмой Олимпиады (510 год до н. э.) в соседнем городе Сибарисе произошло восстание. Телис, победоносный лидер восстания, начал варварскую кампанию преследования сторонников прежнего правительства, которая заставила многих из них искать убежища в Кротоне. Телис потребовал, чтобы предателей вернули в Сибарис, чтобы те понесли наказание, но по призыву Мило и Пифагора жители Кротона выступили против тирана в защиту беглецов. Телис пришел в ярость и, быстро собрав армию численностью в 300000 воинов, пошел маршем на Кротон, оборону которого возглавил Мило, собравший под своим началом 100000 вооруженных жителей города. На семидесятый день войны защитники Кротона под предводительством Мило одержали победу. В качестве возмездия Мило приказал повернуть воды реки Кратис так, чтобы они затопили Сибарис и разрушили город.

Война окончилась, но Кротон бурлил: жители спорили о том, как по справедливости разделить военные трофеи. Опасаясь, что земли достанутся пифагорейской элите, рядовые жители Кротона начали ворчать. Недовольство все более возрастало, так как пифагорейское братство продолжало удерживать в тайне свои открытия, но никаких действий жители Кротона не предпринимали до тех пор, пока в дело не вмешался Силон. Сыграв на страхах, умопомешательстве и зависти толпы, Силон возглавил ее и повел, чтобы разрушить самую блестящую математическую школу, которую когда-либо знал мир. Дом Мило и соседняя школа были окружены. Все двери были закрыты и забаррикадированы, чтобы те, кто находились внутри, не могли спастись, а затем оба здания были подожжены. Мило сумел вырваться из ада и убежать, а Пифагор вместе со своими многочисленными учениками был убит.

Математика потеряла своего первого героя, но пифагорейский дух не был сокрушен. Числа и математические истины бессмертны. Пифагор показал, что математика в большей степени, чем какая-нибудь другая научная дисциплина, лишена субъективности. Его ученикам и последователям не был нужен учитель, чтобы решить, верна ли та или иная теория. Истинность математической теории не зависит от чьего бы то ни было мнения. Арбитром вместо мнения стала логичность математической конструкции. Величайшим вкладом Пифагора в цивилизацию стал способ достижения истины, не подвластный ошибочности человеческого суждения. После нападения Силона и смерти своего отца-основателя, пифагорейцы покинули Кротон и разбрелись по другим городам Древней Греции.

Но преследования продолжались, и в конце концов многие пифагорейцы были вынуждены поселиться на чужбине. Вынужденная эмиграция способствовала тому, что пифагорейцы распространили свое математическое учение по всему Древнему Миру. Ученики и последователи Пифагора основали новые школы и обучили своих учеников методу логического доказательства. Помимо известного им доказательства теоремы Пифагора они поведали миру секрет нахождения так называемых пифагоровых троек.

Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x2 + y2 = z2. Например, соотношение Пифагора выполняется при x=3, y=4 и z=5:

З2 + 42 = 52, 9 + 16 = 25

Другой способ получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3×3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4×4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5×5, состоящий из 25 плиток (рис. 4).

Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. Еще одна пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:

52 + 122 = 132, 15 + 144 = 169.

Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

От теоремы Пифагора до Великой теоремы Ферма

О теореме Пифагора и бесконечном числе пифагоровых троек шла речь в книге Э.Т. Белла «Великая проблема» — той самой библиотечной книге, которая привлекла внимание Эндрю Уайлса. И хотя пифагорейцы достигли почти полного понимания пифагорейских троек, Уайлс скоро обнаружил, что у невинного на первый взгляд уравнения x2 + y2 = z2 имеется и темная сторона — в книге Белла давалось описание математического чудовища.

В уравнение Пифагора входят три числа x, y и z, все три числа входят в квадрате (например, x2 = x·x):

Но в той же книге Белла приводилось и уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в кубе (например, x3 = x·x·x). Так называемая степень переменной x в этом уравнении равна не 2, а 3:

Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т. е. пифагоровы тройки, было сравнительно легко, но стоит лишь степени измениться с 2 на 3 (т. е. заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, становится невозможным. Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в тщетной надежде найти решение уравнения в целых числах.