Удивительные числа Фибоначчи - Александр Иванович Бородулин

вырастут пять новых деревьев. Как будем считать? К удвоенному количеству плодоносящих деревьев (удвоенное потому, что одна монетка в корнях, вторая на ветвях) прибавим количество пока еще молоденьких деревьев (только одна монетка, которая в корнях). Дважды восемь будет шестнадцать. Плюс еще пять, будет двадцать одна.

Мы — молодцы! Закономерность найдена!

Теперь мы можем точно подсчитать количество монеток в любой день!

Причем мы знаем, что текущее число соответствует количеству плодоносящих деревьев, предыдущее число соответствует количеству молоденьких деревьев. Кстати! Давайте уже выйдем со сказочного поля чудес, и рассмотрим развития этого числового ряда в реальности.

Однажды погожим весенним утром, когда из, согретой лучами солнышка, земли взошел тоненький, нежный росток. Первые два месяца он просто тянулся к солнышку. Вторые два месяца он стал крепнуть и в последующие два месяца он еще подрос сам, да еще пустил новую нежную веточку. Но тут наступила осень, а потом снежок укрыл этот маленький, но живучий росток от зимних морозов. Долго длилась зима, но росток все это время крепко спал, и проснулся только тогда, когда земля снова согрелась, и питательные соки побежали по росточку. И за четвертые два, благоприятных для роста, месяца подрос основной стебелек, который пустил еще одну веточку, а также подросла и окрепла веточка, которая появилась еще прошлым летом. Прошло еще два теплых месяца. Пятые по счету из теплых. Стебель еще подрос и вывел еще одну веточку. Первая веточка сама подросла и вывела уже свою веточку. Вторая веточка тоже подросла. И теперь, растение состояло уже из пяти оконечностей, три из которых в следующие два месяца выпустят по новой веточке.

Дальнейшая программа развития этого растения при благоприятных условиях нам уже хорошо известна.

Возможно, вам, Ребята, придется услышать такую формулировку: «Даже галактики закручиваются, подчиняясь закону Фибоначчи!» Подобные формулировки в основе своей неправильны и просто невежественны! Природные явления не подчиняются закономерностям, которые открыли люди! Они существовали, существуют и будут существовать всегда, вне зависимости от их открытия людьми или какими-либо другими существами, которые сами являются творениями Природы. Правильно, надо говорить: «Формирование галактических спиралей математически можно описать числовой последовательностью, которую впервые определил Леонардо Пизанский».

Но давайте поинтересуемся, есть ли у это числового ряда зеркальное отражение? Ведь мы начали с двух единиц. А это значит, что вторая единица получилась в результате сложения предыдущей единицы с каким-то другим числом. Совершенно ясно, что это число — ноль. Тогда первая единица является суммой этого нуля и какого-то числа. Понятно, что число — один. Число ноль является суммой этой единицы и еще одной единички, к которой следует прикрепить знак «минус». И вот эта минусовая единичка может сложиться только с числом два, чтобы получилась просто единичка. Продолжая таким образом, мы, с удивлением, увидим, что в зазеркалье числа «Фибоначчи» имеют прикрепленный минус только через одного!

И, как обычно, подружившись с кем-нибудь или с чем-нибудь, возникает желание поиграть.

Как же можно поиграть с числами «Фибоначчи?» Ну, например, давайте попробуем поиграть в «чехарду», когда предыдущий перескакивает через текущего и становиться следующим. С числами можно тоже так поиграть.

Например, мы теперь знаем, что пять получается в результате сложения числа три и числа два. А можем ли мы получить число пять в результате сложения числа два и числа один, то есть предпредыдущих чисел?

Если мы удвоим число два и прибавим один, то получим пять. А если удвоим число три и прибавим два, то получим восемь. А если удвоим число пять и прибавим три, то, как уже всем понятно, получим тринадцать.

А как получить число тринадцать из трех и двух? Попробуем утроить число три и прибавить два. Упсс! Получится одиннадцать. А нам надо тринадцать! Что мы сделали не так? Мы увеличили один множитель, но совершенно забыли увеличить второй. Исправим эту оплошность и проверим. Три умножить на три и прибавит удвоенное два. Получилось! В смысле, получилось тринадцать.

А теперь давайте узнаем десятое число, не узнавая пока, девятое число. Итак! Шестое число — восемь. Седьмое число — тринадцать. Шестое число удвоим. Будет шестнадцать. Седьмое число утроим. Получится тридцать девять. Теперь, осталось их сложить, и получить пятьдесят пять.

Обратите внимание, Ребята, что число пятьдесят пять — это сумма чисел от одного до десяти. Проверим! Десять умножим на одиннадцать и разделим пополам. Значит, десятое число ряда накопительных сумм натуральных чисел совпадает с десятым числом ряда «Фибоначчи». На этом этапе ряд «Фибоначчи» догнал ряд накопительных сумм, и в дальнейшем, уже недосягаемо, «уйдет в отрыв».

А теперь давайте узнаем число из ряда «Фибоначчи» под номером девять. Для этого просто вычтем из пятидесяти пяти двадцать один. Получим тридцать четыре. Проверим другим способом. К двадцати одному прибавим тринадцать, или к удвоенному числу тринадцать (двадцать шесть) прибавим восемь, или к утроенному числу восемь (двадцать четыре) прибавим удвоенное число пять (десять). Есть еще варианты? Безусловно есть!

Попробуем к пяти, умноженному на четыре, прибавить утроенную тройку. Получилось двадцать девять. Что-то сделали не так! Не хватает пятерки! Значит, пять нужно умножать не на четыре, а на пять! А! Вот в чем хитрость!

Умножать надо только на те числа, которые сами входят в ряд «Фибоначчи!»

Для проверки, умножим шестое число на пятое (сорок), прибавим пятое число, умноженное на четвертое (пятнадцать). Получим десятое число (пятьдесят пять). Неужели мы обнаружили закономерность чисел «Фибоначчи» по номерам? Ведь, шесть плюс пять, плюс еще пять, и плюс четыре будет двадцать. А если двадцать поделить пополам будет десять!

Но, ни в коем случае не следует делать каких-либо выводов, основываясь на единичных фактах!

Однако, обнаруженное совпадение, можно рассматривать как повод установить закономерность…

Давайте проверим! Пятое число умножим на четвертое, и прибавим четвертое число умноженное на третье. По нашим предположениям, должно получится (пять плюс четыре плюс четыре плюс три, все деленное на два) восьмое число. Проверяем! Пятью три плюс трижды два. Получим двадцать один. Это и есть число под номером восемь.

Но даже и теперь, мы обязаны проверить наше предположение! Немного усложним условие! Число под номером шесть (восемь) умножим на число под номером четыре (три). Затем, число под номером четыре умножим на число под номером два (один). По нашим предположениям снова должно получиться (шесть плюс четыре плюс четыре плюс два, и пополам) восьмое число… Но произведя вычисления мы получим (восемь умножить на три плюс трижды один) двадцать семь. Это число не входит в последовательность «Фибоначчи». Какая досадная ошибка! Что же опять не так? Мы усложнили условие