Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Дербишир Джон

Но основное впечатление все же свелось к тому, что наблюдается патовая ситуация. Как будто бы ГР представляла собой гору, на которую совершается восхождение, но с какого направления к ней ни подбираешься, рано или поздно застреваешь у края широкой и бездонной расселины. Я сбился со счета, пытаясь прикинуть, сколько раз, будь то в 1996 или в 2002 году, докладчик заканчивал свое выступление, буквально разводя руками: «Это, конечно, очень важное достижение, однако неясно, удастся ли перекинуть отсюда мостик к доказательству классической Гипотезы Римана…»

Сэр Майкл Берри, который знает толк в словах, ввел в обращение концепцию «кларитона», который он определяет как «элементарную частицу внезапного понимания».[207] В области ГР в настоящее время ощущается дефицит кларитонов.

Эндрю Одлыжко: «Сказано, что, кто бы ни доказал истинность Теоремы о распределении простых чисел, тот достигнет бессмертия. И верно: и Адамар, и де ля Валле Пуссен дожили до девяноста с лишним лет. Возможно, ГР не верна; но если кто нибудь сумеет доказать ее ложность — найти нуль вне критической прямой, — то он умрет на месте и о его результате никто никогда не узнает».

Если оставить в стороне вопрос о поиске доказательства, то каковы ощущения математиков насчет ГР? Что им подсказывает их интуиция? Верна ГР или нет? Что они по этому поводу думают? Я специально спрашивал всех математиков, с которыми удавалось поговорить, верят ли они в справедливость Гипотезы. Ответы образовали широкий спектр с довольно разнообразным набором собственных значений.

Для тех математиков, кто верит в ее справедливость (сюда относится, например, Хью Монтгомери), определяющую роль играет совокупная убедительность свидетельств в ее пользу. Но всем профессиональным математикам известно, что веские свидетельства и указания могут сыграть злую шутку. Имелись веские основания полагать, что Li(x) всегда превосходит π(x), пока Литлвуд не показал в 1914 году, что это не так. Верно, скажут вам те, кто верует в ГР, но ведь то были всего лишь свидетельства, затрагивающие только одну нить, ведущую к ГР. Численные свидетельства вкупе с неподкрепленным предположением, что второй член — т.е. член с интегральным логарифмом −1/2Li(x1/2) — будет и далее доминировать в разности, которая в силу этого будет оставаться отрицательной. А к самой Гипотезе ведет большее число нитей. На Гипотезе Римана основано огромное количество результатов, большинство из которых весьма разумны и — если использовать слово, которое особенно нравится математикам, — изящны. Имеются сотни теорем, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…». Если ГР окажется ложной, то все они рассыплются. Это, понятно, было бы нежелательным, так что тех, кто верует, можно упрекнуть в выдавании желаемого за действительное, и, однако же, дело не в нежелании потерять все эти результаты, а в факте их существования. В веских свидетельствах.

Другие математики полагают (как полагал Алан Тьюринг), что ГР, скорее всего, не верна. Мартин Хаксли[208] — один из неверующих наших дней. Его неверие основано исключительно на интуитивных посылках — если процитировать аргумент, впервые выдвинутый Литлвудом, «Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из анализа, как правило, оказывается ложной. Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из алгебры, как правило, оказывается истинной».

Ответ, который мне нравится больше всех, принадлежит Эндрю Одлыжко. Ему я на самом деле задал этот вопрос впервые — он был первым математиком, к кому я обратился, когда вынашивал планы написания этой книги. Мы отправились ужинать в ресторан в городок Саммит в Нью-Джерси. Эндрю в то время работал в Белловских лабораториях (сейчас он в университете Миннесоты). Я в то время был новичком во всем, что касалось ГР, и мне приходилось много всего изучать. Покончив с превосходной итальянской едой и проведя два часа за серьезным разговором о математике, мы подошли к моменту, когда у меня больше не осталось, о чем спрашивать; тогда я сказал:

Дж.Д. Эндрю, вам довелось рассмотреть больше нетривиальных нулей дзета-функции Римана, чем любому другому на нашей планете. И что вы думаете по поводу этой проклятой Гипотезы? Верна она или нет?

Э.О. Она или верна, или нет.

Дж.Д. Да ладно, Эндрю, у вас же должно быть какое-то ощущение по этому поводу. Ну скажите мне, какова вероятность. Скажем, восемьдесят процентов, что она верна, и двадцать, что нет. Или сколько?

Э.О. Она или верна, или нет.

Кроме этого мне ничего не удалось из него вытянуть. Он просто не желал связывать себя никаким утверждением. В другом разговоре, состоявшемся позднее и в другом месте, я спросил Эндрю, имеются ли веские математические причины полагать, что Гипотеза не верна. Да, сказал он, некоторые имеются. Например, можно разбить дзета-функцию на различные части, каждая из которых будет вам говорить что-то свое о поведении дзета-функции. Одна из этих частей — так называемая S-функция (никакого отношения не имеющая к функции, которую мы обозначали как S(x) в главе 9.ii). Во всем интервале, в котором до сих была изучена дзета-функция, — т.е. для аргументов на критической прямой до высоты около 1023 — S в основном барражирует между −1 и +1. Наибольшее известное ее значение равно примерно 3,2. Имеются серьезные основания думать, что если S сумеет в какой-то момент добраться до величины около 100, то ГР может оказаться в беде. Ключевое слово здесь — «может»; достижение функцией S значений около 100 — это необходимое условие для того, чтобы с Гипотезой Римана случилась беда, но не достаточное.

Могут ли значения функции S когда-нибудь вообще стать столь большими? Представьте себе, могут. На самом деле Атле Сельберг в 1946 году доказал, что S неограничена; другими словами, рано или поздно, если только забраться достаточно высоко по критической прямой, значение этой функции превысит любое заранее выбранное число! Скорость роста функции S столь чудовищно мала, что соответствующие высоты находятся за пределами воображения, но тем не менее нет сомнений, что S в конце концов дойдет до 100. Докуда надо будет исследовать критическую прямую, чтобы увидеть, как S достигнет такой величины? Эндрю: «Возможно, до T, равного ». Это намного больше, чем современные вычислительные возможности, да? «О да. Серьезно больше».

Вопрос, который всегда задают читатели-нематематики, вопрос, который возникает всякий раз, когда математики обращаются к аудитории из простых людей: какая от всего этого польза? Предположим, что Гипотезу Римана доказали или опровергли. Какие практические следствия отсюда произойдут? Станем ли мы от этого здоровее, повысится ли наш комфорт, станет ли наша жизнь более безопасной? Изобретут ли новые устройства? Сможем ли мы быстрее путешествовать? Получим ли более разрушительное оружие? Колонизируем ли Марс?

Пожалуй, мне пора снять маску и предстать перед вами в образе чистого математика sans mélange[209], которого вообще не интересуют подобные вопросы. Для большинства математиков — как и для большинства физиков-теоретиков — стимулом является не какая бы то ни было идея об улучшении здоровья или повышении комфорта человеческой расы, но чистая радость открытия и удовольствие от преодоления сложных проблем. Математикам, в общем, приятно, когда их результаты находят какое-нибудь практическое применение (во всяком случае, если это применение в мирных целях), но мысли о таких вещах не часто проникают в ту сферу их жизни, которая связана с работой. На конференции в Курантовском институте я просидел четыре дня с 9:30 до 18:00 вечера на докладах, где рассказывалось о вопросах, связанных с ГР, и ни разу не слышал, чтобы упоминались практические приложения.