Интернет-журнал 'Домашняя лаборатория', 2007 №6 - Вязовский
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
И одна из задач нашей книги, темой которой является вероятность, как раз и состоит в том, чтобы развенчать всяческую разновидность фатализма, предостеречь читателя от поисков обоснования событий там, где это обоснование невозможно, где события являются чисто случайными.
В своей очень интересной статье, посвященной мифотворчеству Томаса Манна, Станислав Лем показывает, что непонимание законов случая лежит в основе многих мифов. Лем приводит характерный пример. Жители одной африканской страны верят в то, что львы делятся на две категории: на львов, которые просто львы, и на львов, в которых переселились души умерших людей.
Обыкновенные львы кушают людей, а львы с человеческой душой не питаются своими духовными родственниками.
Таким образом случайность изгоняется, и трапезы львов получают свое истолкование. К сожалению, миф не дает нам возможности заранее узнать, с каким львом мы имеем дело; его категория выясняется лишь после его обеда.
Понимание законов вероятности ставит все на свои места и является важнейшим оружием против мифов, против религии, против фатализма.
С одной стороны, нельзя и не надо искать объяснения случайным событиям, вероятность которых хотя и мала, но вполне разумна. Скажем, очень соблазнительно приписать всесильности материнской любви чудесное избавление от гибели ее ребенка. Ребенок играл под балконом, мать отозвала его, а через пять секунд от карниза оторвался огромный кусок штукатурки и упал на то самое место, где играло дитя. Так и хочется сказать, что «Сердце матери — вещун», или «Материнская любовь — большая сила», или «Бог не допустил гибели невинного младенчика» и т. д. и т. п. Но происшедшее не нуждается в таких ремарках, ибо вероятность события вполне приемлема и иного объяснения не требует.
С другой — владение законами вероятности позволяет с уверенностью отнести определенный класс событий к невозможным. И если большое число случайных линий все же пересеклось, вероятность события ничтожно мала, а невозможное событие все же совершилось, то, значит, не «что-то в этом есть», а «что-то здесь не так!».
МАТЕМАТИК СПЕШИТ НА СВИДАНИЕ
— Ты не забыл, что завтра мы идем в консерваторию?
— Ну конечно, нет.
— Заедешь за мной?
— Дел невпроворот. Давай мне билет, я приду один.
— Вот так всегда. Опять подруги надо мной посмеются. Завела, скажут, кавалера, который с тобою и показаться не желает.
— Ну ладно, давай встретимся. Где?
— У входа в продуктовый, что поближе к Никитским воротам.
— Так это на другой стороне улицы.
— Конечно. Мне не хочется, чтобы видели, как я тебя жду.
— Неизвестно, кто кого будет ждать… Но знаешь, завтра мне и правда время рассчитать трудно. От 18.00 до 19.00 я буду на месте как штык, а точнее — не скажу.
— Выходит, я час тебя буду ждать?
— Я и говорю: встретимся на месте.
— Не хочу.
— Тогда предлагаю компромиссное решение. Оба приходим между 17.40 и 18.40. И ждем не более двадцати минут.
— А если ты придешь в 18.00, а я в 18.30?
— Значит, я буду уже в зале.
— Да так мы никогда не встретимся на улице.
— Вероятность встречи довольно значительная. Хочешь, подсчитаю?
— Да не берись за карандаш, горе ты мое. И надо было влюбиться в математика…
Я, конечно, был бы рад продолжить рассказ о радостях и горестях влюбленных математика и девушки, далекой от чисел и интегралов. Тут бездна интересных психологических моментов. Но увы! Тема книги вынуждает вернуться к «сухой» науке.
Как же действительно подсчитать вероятность встречи математика с его любимой? Мы уже выяснили, что вероятность — это отношение числа благоприятных случаев к общему числу событий. А здесь как быть? Ведь встреча может состояться или не состояться в любой момент часового интервала.
Благоприятным исходом рассматриваемой задачи является мгновение встречи. Но мгновений бесконечно много. Ведь часовой интервал я могу разбить на минуты, на секунды и даже на микросекунды. Значит, здесь бесконечное число исходов, а не два, как в опыте с монетой, и не шесть, как в опыте с кубиком (игральной костью). Как же определяются вероятности в задачах такого рода? Оказывается, геометрическим путем. А поскольку геометрия требует наглядности, нам придется прибегнуть к нехитрому рисунку.
Отложим по горизонтали время прибытия девушки на свидание. На вертикальной прямой отметим минуты появления нашего героя. Если бы не было условия — ждать не более двадцати минут, то встреча могла бы произойти в любой точке квадрата, обнимающего часовые ожидания. При наличии же дополнительного условия моменты встречи попадут в заштрихованную область. Пожалуйста, проверяйте.
Девушка пришла без двадцати шесть. Встреча состоится, если кавалер явится до шести. Этому соответствует первый отрезок.
Девушка пришла в 18.00. Встреча состоится, если кавалер явится от 17.40 до 18.20. Такой встречи соответствует второй отрезок, построенный на рисунке.
Если девушка пришла в 18.20, то встреча состоится при условии, если математик явится к продуктовому магазину между 18.00 часами и крайним сроком — 18.40. Вот вам третий отрезок.
Теперь еще одна точка, и заштрихованная область будет готова: девушка успела прибежать на свидание в 18.40. Она застанет своего возлюбленного, если он явился не раньше 18.20.
Что же дальше? Где же искомая вероятность? Нетрудно догадаться, что она будет равняться частному от деления площади заштрихованной области на площадь всего квадрата.
По сути дела, определение вероятности остается тем же — благоприятные варианты относятся ко всем возможным. Но если ранее мерой было число случаев, то теперь мерой является площадь на графике.
Два незаштрихованных треугольника образуют квадрат со стороной, соответствующей 40 минутам. Его площадь 402. Таким образом, искомую вероятность получим, поделив (3600–1600) на 3600. Итого 5/9.
Будем надеяться, что математик встретится со своей девушкой.
Применение теории вероятностей к событиям с непрерывным рядом исходов намного расширяет ее возможности.
Одной из исторически первых задач такого рода была проблема, поставленная и решенная французским естествоиспытателем XVIII века Еюффоном.
На большом листе бумаги начерчен ряд параллельных линий. Наобум бросается игла, длина которой много меньше расстояния между линиями на бумаге. Игла может пересечь одну из линий, а может очутиться и между линиями. Надо оценить вероятность того, что пересечение произойдет.
Предполагается, что центр иглы с равной вероятностью может попасть в любое место бумажного листа. Так же точно считается, что
