Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона - Сергей Валянский

В Западной Европе десятичные дроби были введены только около 1585 года фламандским математиком и инженером С. Стевином. Вообще применение многих приемов, отработанных арабами до Х века, как, например, приближенного извлечения корней, отмечено в Европе лишь с середины XVI века.

Преобладание вычислительной части математики оказало влияние на трактовку многих теоретических вопросов. Особенно интересен вопрос о понимании алгебраических иррациональностей, стремление к оперированию с которыми характерно для всей арабской математики. В сочинениях Хорезми уже встречаются операции над квадратичными иррациональностями; Аль-Кархи (XI век) ввел многие преобразования иррациональностей. Аль-Баки (ок. 1100), как и Аль-Кархи, комментировал десятую книгу «Начал» Евклида, поясняя ее теоремы числовыми примерами.

В силу такого подхода и частого применения вычислений иррациональностей грань между рациональными числами и иррациональностями начинает стираться. К представлению о числе как о собрании единиц прибавились представления об отношениях непрерывных величин. Была установлена адекватность геометрической несоизмеримости с арифметической иррациональностью. В математике вместо двух обособленных понятий, — числа и отношения, возникла новая, более широкая концепция действительного положительного числа. Уже в XIII веке этот факт был констатирован с полной определенностью; Насирэддин (1201–1274) писал:

«Каждое из отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов».

Можно сказать, что идея создания единой концепции действительного числа путем объединения рациональных чисел и отношений, появившаяся у математиков Византии, получила на Ближнем Востоке известное завершение. В Европе же подобная идея не появлялась довольно долго. Только с XVI века бурное развитие вычислительных средств начало приводить ученых к ее осознанию, а с достаточной степенью общности она была высказана лишь И. Ньютоном в 70-х годах XVII века (опубликована в 1707) в его «Всеобщей арифметике»:

«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой вели

чине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное — кратной долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».

Великий поэт и математик Омар Хайям (ок. 1048 — ок. 1122) и Насир-ад-дин ад-Туси (1201–1274) явно указывали, что каждое отношение величин, все равно, соизмеримых или нет, может быть названо числом. Величие этих достижений становится особенно ясным, если заметить, что полное признание отрицательных чисел европейскими математиками было достигнуто очень не скоро. Например, Ф. Виет (1540–1603), которому алгебра многим обязана, избегал отрицательных чисел, а в Англии протесты против отрицательных чисел раздавались даже в XVIII веке.

В XI веке тюрки-сельджуки захватили большую часть Ирана и византийских владений в Малой Азии. На этих землях народы осваивали и развивали наследие всех предшественников, и византийцев, и арабов. Омар Хайям писал стихи по-персидски, научные трактаты по-арабски, а в служебных делах пользовался тюркским языком. Потерпев неудачу в прямом поиске корней произвольного кубического уравнения, он открыл несколько способов приближенного вычисления этих корней, предлагая сделать это, используя хорошо знакомые кривые. Как только (в XVII веке) Рене Декарт добавил к ней вторую идею — описать любую кривую с помощью чисел, родилась аналитическая геометрия, в которой решение алгебраических уравнений слито воедино с теорией чисел и с наглядной геометрией.

Предчувствуя эту связь, Омар Хайям поставил много интересных вычислительных опытов. Он нашел приближенные способы деления окружности на 7 или 9 равных частей; составил подробные таблицы синусов и с большой точностью вычислил число «пи». Он догадался, что это число иррациональное, и даже не квадратичное — но доказать не смог. Не удались Хайяму и попытки доказать пятый постулат Евклида о параллельных прямых.

Влияние алгоритмически-вычислительной направленности арабской математики отразилось и на ее структуре. В ней сравнительно быстро, впервые в истории, выделилась в качестве самостоятельной математической науки алгебра. В этом факте нашло свое выражение слияние элементов алгебраического характера математики различных народов, например: геометрическая алгебра византийцев, группировка однотипных задач и попытка выработать для каждой группы единый алгоритм в Вавилоне, вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям 1-й и 2-й степени, и т. п.

В трудах математиков средневекового Востока эти алгебраические элементы были впервые выделены, собраны в новый специальный отдел математики, сформулирован предмет этого нового отдела науки и построена систематическая теория. В качестве примера такого подхода приведем высказывание Омара Хайяма:

«Алгебра есть научное искусство. Ее предмет — это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определенное отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных… Алгебраические решения… производятся лишь с помощью уравнения, то есть приравниванием одних из этих степеней другим».

Европейские ученые начали знакомиться с алгеброй в начале XII века, а источником их сведений явилось сочинение «Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» Мухаммеда бен-Муса ал-Хорезми, жившего в первой половине IX веке. Название в переводе означает: книга об операциях джебр (или гебр, восстановление) и кабала (приведение). Первая из операций, имя которой послужило названием для алгебры и служит до сего времени, состоит в переносе членов уравнения из одной стороны в другую. Вторая есть операция приведения подобных членов уравнения. Решение уравнений рассматривается как самостоятельная наука.

Книга Хорезми пользовалась большой известностью. Термин алгебра укоренился в математике. Осталось в этой науке и имя автора (аль-Хорезми) в латинизированном виде: алгоритм. Вначале это слово обозначало фамилию, затем нумерацию по позиционной системе, а теперь — всякую систему вычислений, производимых по строго определенным правилам и заведомо приводящих к решению поставленной задачи. В ходе развития науки изменялось содержание понятий, вложенных в эти термины, но термины сохранились.

Но сам Хорезми никогда не высказывался о своем приоритете в алгебре. Видимо, оба приема — джебр и кабала — были уже широко распространены в его время.

Алгебраические арабские трактаты IX–XV веков, помимо решения уравнений 1-й и 2-й степени, включали в себя и кубические уравнения. К последним приводили разнообразные задачи:

а) рассечение шара плоскостью;

б) трисекция угла;

в) отыскание стороны правильного 9-угольника;

г) отыскание стороны правильного 7-угольника, и другие.

Одна из задач оптики: найти на данной окружности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки A, отразился в другую заданную точку В, приводила к уравнению 4-й степени.

В методах решения кубических уравнений отразилось многообразие средств, обычно присущее математике арабских ученых. Численные же решения уравнений развивались, начиная со способа проб (разработан Бируни, 972–1048) до изящного итерационного, быстро сходящегося, метода (Каши, ок. 1420).

Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было формирование тригонометрии. И в этой области происходил синтез разнообразных тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы предшествующих ученых, в особенности результаты Птоломея и Менелая, операции с линиями синуса и косинуса у индийцев, накопленный опыт астрономических измерений.

Используя этот разнородный материал, математики стран Ближнего Востока и Средней Азии ввели все основные тригонометрические линии. В связи с задачами астрономии они составили таблицы тригонометрических функций с большой частотой и высокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным изучать свойства плоских и сферических треугольников, способы их решений. Получилась стройная система тригонометрии как плоской, так и сферической. Ее представляет, например, сочинение Насирэддина (1201–1274) «Трактат о полном четырехстороннике».