Жизнь Георга Кантора - Адольф Френкель

Из отдельных мест, имеющих философское значение, упомянем замечание в работе [13], ч. 5, о формировании понятий; в противоположность «субстанциальному» пониманию Аристотеля, здесь изображается функциональный процесс в том смысле, как он утвердился в современном учении о формировании понятий у Риккерта, Кассирера и др. Далее, следует отметить, что Кантор упорно и неоднократно боролся (против Гамильтона, Когена и др.) с еще и ныне высказываемой точкой зрения, согласно которой число или понятие величины основывается на понятии времени; в работе [13], ч. 5, он в особенности возражает против учения о времени Канта.

Для общего понимания математики Кантором существенно представление о реальности научных идей (например, целых − конечных и бесконечных − чисел); эта реальность имеет для него двоякий смысл: с одной стороны, как интрасубъективная или имманентная реальность, закрепленная определениями, отводящими соответствующему понятию определенное, отдельное от других понятий место в человеческом мышлении, благодаря чему это понятие «некоторым образом модифицирует субстанцию нашего разума»; с другой же стороны, как транссубъективная или трансиентная реальность, когда понятие является «отражением процессов и отношений в противостоящем интеллекту внешнем мире» (См. [13], ч. 5).

Для Кантора оба вида реальности совпадают, вследствие единства содержащего нас самих всеобщего, и он полагает, что каждому понятию, реальному в первом смысле, присуща также и трансиентная реальность, установление которой составляет часто труднейшую задачу метафизики. Характерное же преимущество математики он усматривает в том, что она «при разработке своего идейного материала должна принимать во внимание исключительно одну лишь имманентную реальность ее понятий, вовсе не будучи при том обязана подвергать их испытанию также в отношении их трансиентной реальности»[38]. На этой характеристике, объясняющей, как ему кажется, «относительную легкость и беспрепятственность занятий математикой, он основывает свое предложение присвоить ее почетное наименование «свободной математики».

Кантор описывает здесь своеобразие и значение математики (и тем самым, можно было бы добавить, также теоретической логики) в чисто рациональном плане, определяя ее, коротко говоря, как ту науку, которая не содержит метафизики; это вовсе не значит, однако, что его отношение к математике было односторонним. Уже два первых тезиса его диссертации показывают, как высоко он ценил ее еще в юношеские годы в эстетическом и этическом отношении: “Eodem modo literis atque arte animos delectari posse” и “Jure Spinosza mathesi eam tribuit, ut hominibus norma et regula veri in omnibus rebus indagandi sit”

Вопреки той уверенности, с которой Кантор усматривал сущность математики в ее свободе, следует заметить, что эмоционально он отнюдь не был склонен признать непротиворечивость единственным критерием существования математических объектов. В самом деле, ведь он пришел к трансфинитным порядковым числам не «свободным путем работы [13], ч. 5, а в некотором смысле вынужденный к этому итерацией построения производных множеств, в частности, стремлением к созданию их общей символики. Точно так же, его чрезмерно резкое отрицание «бесконечно малых», без сомнения, объясняется ощущением преимущества трансфинитных чисел − выводимых из «данных» множеств[39] − по сравнению с общими неархимедовыми системами величин.

Мы упомянули выше убеждение Кантона, что математическим понятиям, наряду с имманентной реальностью, только и касающейся математика, сама собою присуща также транссубъективная реальность; с этим теснейшим образом связано представление Кантора, которое можно в несколько заостренной форме выразить словами: математик не изобретает предметы своей науки, но открывает их. Это воззрение, выраженное уже в третьем тезисе его диссертации, снова подчеркивается в конце его творчества, когда он предпосылает завершающему изложению [18] эпиграфы:

“Hypothesis non fingo” («Гипотез я не выдумываю») и “Neque enim leges intellectui aut rebus datum arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus” («Ибо мы не даем законов разуму и вещам по нашему произволу, но, словно верные писцы, схватываем и записываем их с голоса самой природы»). Вообще говоря, для творческой деятельности математика безразлично, рассматривает ли он свои понятия как платоновские идеи, как произвольные создания рассудка или примиряя эти точки зрения (Гессенберг), как создания независимо творящего разума, замечательно, однако, что именно в проблематике теории множеств, касающейся несчетного, эти различия в мировоззрении могут играть иногда существенную роль[40]. То обстоятельство, что для Кантора (и, очевидным образом, также для Больцано) понятия математики обладали существованием, независимым от их открытия и вообще от нашего мышления, а в некотором смысле ему предшествующим, весьма существенно для понимания подхода Кантора к занимавшим его проблемам (например, к проблеме континуума). Это убеждение поддерживало также упрямство, с которым он в течение двух десятилетий почти в одиночестве отстаивал свои идеи И следующее ниже место из письма Миттаг-Лефлеру в начале 1884 г. не только свидетельствует о скромности, но скорее должно рассматриваться как выражение этой метафизической точки зрения: «..что касается остального (кроме стиля и сжатости изложения), то это не моя заслуга: по отношению к содержанию моих работ я всего лишь секретарь или посредник». Конечно, нельзя не заметить известной неувязки между двумя тезисами Кантора − с одной стороны, о «свободе» математики и, с другой стороны, о заданном характере математических объектов.

Далеко не так отчетливо известны нам взгляды и интересы Кантора в области естествознания и, в особенности, физики. В противоположность «свободной математике», он рассматривает физику как «метафизическую науку»[41], и для нее он признает оправданными и необходимыми те самые оковы, от которых столь решительно освобождает математику; причиной этого является стимулирующая естественную науку трансиентная реальность. Он высказывается, впрочем, не в очень тесной связи с предыдущим ([13], ч. 5), против точки зрения «знаменитого физика» (имеется в виду, конечно, Кирхгоф, «Механика» которого вышла в 1874 г.), согласно которой физика есть «описание природы»; по его мнению, это представление «лишено и свободного веяния математической мысли, и силы объяснения и обоснования явлений природы». О естественно-научных взглядах Кантора свидетельствует еще высказанная им в конце работы [16], весьма далекая от нынешних представлений атомистическая гипотеза[42], согласно которой атомы материи составляют множество первой мощности, атомы же эфира − второй[43]. Известно также о его занятиях «естественным учением об организмах..., к которому неприменимы имеющиеся механические принципы...», и для которого ему нужны были новые, в частности, теоретико-множественные средства (письмо Миттаг-Лефлеру от 22 сентября 1884 г.; ср. также [13], ч. 5); трудно уяснить себе, какие методы и цели при этом имелись в виду, но можно предположить, что главную роль должна была здесь играть (до сих пор едва начатая) теория многократно упорядоченных множеств. Наконец, заслуживает упоминания рассмотрение в [13], ч. З, отношений между арифметическим пространством и тем пространством, которое мы кладем в основу описания явлений действительности; обычно предполагаемое соответствие между этими понятиями «само по себе произвольно» и обеспечивается лишь требованием отобразимости (а не только, например, условием непрерывной подвижности).

Религиозные интересы Кантора часто проявляются в его статьях философского характера (а также в предисловии к Confessio fidei [«Исповедание веры»] Бекона); характерно, что работа “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” была опубликована в журнале “Natur und Offenbarung” («Природа и откровение»). Со стороны отца он был еврейского происхождения, сам был воспитан в евангелическом исповедании, к которому отец его принадлежал уже до рождения сына, наконец, он испытал сильное влияние католической атмосферы материнской семьи; он не разделил, однако, судьбы многих, у кого «подобные столкновения приводят к далеко заходящему равнодушию в религиозных вопросах. Напротив, уже упомянутая вначале религиозная сторона его воспитания очевидно произвела на него продолжительное и прочное воздействие. И если он с особым вниманием изучает позицию отцов церкви и схоластических философов по отношению к актуальной бесконечности[44] и вообще отношение ее к понятию бога, вступая по этому поводу в полемику, то, безусловно, наряду со стремлением защитить свои построения от возражений теологического характера он проявляет этом и свои внутренние побуждения. Для его религиозной установки характерны, прежде всего, его опубликованные в статье “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” письма (неназванным адресатом которых был кардинал Францелин); в этих письмах он пытается доказать существование “Infinitum creatum” («Сотворенного бесконечного»), прямо опираясь на понятие бога. Далее, в том же смысле примечательно место из письма Кантора Г. Энестрему, опубликованное в работе “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”. Вследствие своей заинтересованности в теологической трактовке проблемы бесконечного, Кантор переписывался с несколькими иезуитами[45], как, например, с изгнанным из Германии о. Тильманом Пешем, автором высоко ценимой Кантором книги “Institutiones phlosophiae naturalis”(«Лекции по натуральной философии»), которого он лично посетил в Блинбеке (Голландия), а также с кардиналом Францелином, который, примыкая к учению Августина, защищал понятие актуально-бесконечного многообразия; пространное письмо его содержится в работе “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном»). Особенно оживленной была переписка с К. Гутберле, профессором философии и математики духовной семинарии в Фульде, в течение десятилетий бывшего издателем Philosophisches Jahrbuch der Görres – Gesellschaft. В 1878 г. Гутберле опубликовал сочинение “Das Unendliche mathematisch und methafisisch betrachtet («Бесконечное с математической и метафизической точки зрения»), в котором выступил против исходящих из теологии и философии тезисов о невозможности бесконечной величины; впрочем, он утверждает не существование актуально-бесконечного, как Кантор, а лишь возможность его. Кантор видел в Гутберле, навлекшем на себя своей книгой много возражений и даже насмешек, товарища по борьбе; он посетил его в Фульде и объяснил свой интерес к нему не только деловыми причинами, но и собственным отношением к католицизму с материнской стороны[46]. При содействии Гутберле Кантор глубоко проник в идеи средневековых мыслителей о бесконечном, что отразилось в его работах; в свою очередь, Гутберле познакомил с построениями канторовой теории множеств более широкий круг читателей с философскими интересами и защищал их, в частности, от возражений школы Гербарта[47].