Ритм Вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Строгац Стивен

Нам удалось доказать, что такая обобщенная система почти всегда становится синхронизированной – при любом количестве осцилляторов и при любых начальных условиях[15]. Ключевым ингредиентом в доказательстве является понятие «абсорбции» – обозначение идеи о том, что если один осциллятор проталкивает другой осциллятор за пороговое значение, они остаются синхронизированными навсегда, как если бы один осциллятор поглотил другой. Такие поглощения были заметны в моих компьютерных экспериментах, когда у наблюдателя складывалось впечатление, будто осцилляторы сливаются вместе, подобно каплям дождя, стекающим по оконному стеклу. Кроме того, такие слияния необратимы: как только два осциллятора запускаются вместе, они никогда не рассинхронизируются сами по себе, поскольку их динамика идентична; к тому же они одинаково связаны со всеми остальными осцилляторами, поэтому даже когда они испытывают толчок, их синхронизм не нарушается: ведь они испытывают одинаковый толчок. Следовательно, абсорбции действуют подобно храповому механизму, всегда приближая систему к синхронизму.

Основой доказательства является аргумент, демонстрирующий, что последовательность поглощений объединяет осцилляторы в группы, размеры которых все время увеличиваются – до тех пор, пока все они не образуют одну гигантскую совокупность. Если вы не математик, вас, наверное, интересует, как можно доказать все это. Существует бесконечно большое число способов запуска такой системы; как же в таком случае можно охватить одним доказательством все эти бесчисленные варианты? И где гарантия, что в конечном счете произойдет количество поглощений, достаточное для того, чтобы привести такую систему к полному синхронизму?

Ниже излагаются наши рассуждения по этому поводу. Не волнуйтесь, если какие-то детали этих рассуждений покажутся вам непонятными. Моя задача в данном случае заключается лишь в том, чтобы дать вам самое общее представление о том, как выстраиваются такие доказательства. Трудно рассчитывать на что-либо большее, если ваши познания в области математики ограничиваются курсом геометрии, который вы проходили в старших классах школы и который зачастую преподается в механистическом и авторитарном стиле. На самом деле конструирование математического доказательства – весьма творческий процесс, полный нечетких идей и образов, особенно на ранних стадиях этого процесса. Строгие формулировки появляются позже. (Если это не особенно интересует вас, можете пропустить следующие несколько страниц.)

Первым шагом является каталогизация всех возможных начальных конфигураций. Вернемся, например, к случаю двух осцилляторов. По причине использования Пескином уловки со стробами нам вовсе необязательно наблюдать за осцилляторами все время. Достаточно сосредоточиться на одном моменте в каждом цикле. В качестве такого момента мы выбрали момент непосредственно после запуска осциллятора A и его возвращения к исходному состоянию. Тогда на осцилляторе B может быть любое «напряжение» между исходным состоянием и порогом. Представляя напряжение на осцилляторе B в виде точки на числовой оси, исходное состояние на которой отображается нулем, а порог – единицей, мы видим, что существует линейный сегмент разных возможностей. Этот одномерный сегмент охватывает все возможные начальные условия для данной системы (поскольку нам известно, что осциллятор A находится в 0 [только что запустился и сбросился в исходное состояние], единственной переменной является B, который должен пребывать где-то вдоль линейного сегмента между 0 и 1).

Три осциллятора создают большее пространство возможностей. В этом случае нам нужно знать два числа: учитывая, что A только что запустился и находится в 0, нам все еще нужно указать напряжения осцилляторов B и C в этот момент. Как выглядит геометрия, соответствующая какой-то паре чисел? Мы можем представлять их как две координаты некой точки в двумерном пространстве.

Изобразим плоскость x, y, которая наверняка знакома вам из курса математики в старших классах. В данном случае ось x (как обычно, это горизонтальная ось) представляет напряжение осциллятора B в момент, когда запускается A. Вертикальная ось y представляет напряжение осциллятора C в тот же момент. Пара напряжений отображается на этой плоскости одной точкой.

Когда мы предоставляем возможность B и C изменяться независимо, принимая любые напряжения в промежутке между 0 и 1 (охватывая все возможные варианты), соответствующая точка, изображающая пару напряжений, движется внутри некой области, представляющей собой квадрат.

Таким образом, в случае трех осцилляторов мы получаем квадрат возможных начальных условий: одна ось для осциллятора B и одна для осциллятора C. Обратите внимание, что для A нам не нужна ось, поскольку этот осциллятор всегда стартует с нуля (в соответствии с тем, как мы решили стробировать эту систему).

Картина постепенно проясняется. По мере добавления осцилляторов нам необходимо добавлять все больше измерений, чтобы можно было учитывать все возможности. Для четырех осцилляторов требуется трехмерный куб начальных условий; для пяти осцилляторов требуется четырехмерный гиберкуб, а в общем случае для n осцилляторов требуется (n–1) – мерный гиберкуб. Людям, далеким от математики, это может показаться чересчур сложным (все это действительно сложно представить себе). Но с точки зрения формального математического подхода, вообще говоря, все равно, какому числу в каждом конкретном случае соответствует n: увеличение n не предполагает возникновения каких-либо новых сложностей. Поэтому, для большей определенности, в дальнейшем я продолжу рассматривать случай с тремя осцилляторами, который заключает в себе все основные идеи.

Очередной шаг заключается в преобразовании рассматриваемой нами динамики – эволюции такой системы во времени – в графическое представление, которое мы стремимся получить. Мы хотим убедиться в том, что в такой системе действительно будет достигнут синхронизм при неких начальных состояниях осцилляторов B и C.

Представим, что произойдет, если мы позволим такой системе начать работать. Напряжение на всех осцилляторах поднимется до порогового значения, они запустятся, а затем вернутся в исходное (нулевое) состояние; они также будут реагировать на «толчки» со стороны других осцилляторов. Чтобы устранить избыточную информацию, опять воспользуемся методом стробов: предоставим системе возможность работать в темноте до очередного момента, когда осциллятор A запустится и вернется в исходное состояние, а B и C отреагируют на это. Затем включим строб и сделаем очередной фотоснимок, зафиксировав новые позиции B и C.

Геометрический результат заключается в том, что старая точка в нашем квадрате оказалась на новом месте (обновленные напряжения B и C). Иными словами, динамическая эволюция нашей системы эквивалентна преобразованию, в результате которого любая данная точка в нашем квадрате оказывается в другом месте этого квадрата в соответствии с неким сложным правилом, которое определяется формой кривой заряда и величиной толчков.

Этот процесс можно повторить; при этом новую точку можно интерпретировать как начальную, которая изменяет свою позицию в соответствии с упомянутым преобразованием, снова и снова перепрыгивая с одного места в нашем квадрате на другое место. Если такая система должна в конечном счете прийти к синхронизму, то упомянутая нами точка должна постепенно продвигаться в сторону нижнего левого угла квадрата, то есть к точке с напряжениями (0,0); это означает, что все осцилляторы достигнут исходного положения одновременно. (Почему именно нижний левый угол? Потому что именно в этой точке находится осциллятор A. Согласно определению строба, осциллятор A уже запустился и сбросился, поэтому напряжение на нем равно нулю. В синхронизированном состоянии напряжение на обоих других осцилляторах также равно нулю.)