Природа боится пустоты - Дмитрий Александрович Фёдоров

является чересчур громоздким, чтобы приводить его целиком (это верно даже для нашей современной записи пропорций, а для их оригинального словесного описания — тем более), зато гораздо важнее сделать ряд важных замечаний. Во-первых, у Архимеда P1, P2,…, Pn являются просто некоторыми грузами, а вовсе не тонкими сегментами параболы, перенесенными на другую сторону весов, поскольку в противном случае слишком явственным оказался бы атомистический подход, согласно которому площадь состоит из линий. Во-вторых, Архимед использовал не только описанную вокруг параболы ломанную из малых трапеций, но и другую — вписанную, — получив, разумеется, такой же результат. В-третьих, нигде прямо Архимед не заявляет, что по мере увеличения числа зубцов обе ломанные стремятся к параболе, но лишь показывает, что разницу между площадями всех вписанных и всех описанных трапеций можно сделать сколь угодно малой. Затем, по уже привычному шаблону, показывается, что площадь параболического сегмента не может отличаться от 1/3 площади QRE, ибо любое такое отличие всегда приводит к абсурду.

Теорема Архимеда о шаре и цилиндре

Вскоре, вслед за сочинением «О квадратуре параболы», Архимед отправил Досифею свою новую работу «О шаре и цилиндре», в которой, помимо прочего доказывалось, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга, и что, если вокруг шара описать цилиндр, то площадь и объем полученного цилиндра окажутся в полтора раза больше соответствующих величин для шара. Архимед с гордостью замечает, что ни один из геометров прошлого не заметил этих соотношений, которые, однако же, столь удивительны, что могут быть поставлены в один ряд с великими теоремами Евдокса об объемах пирамиды и конуса. Полные рассуждения Архимеда по данным вопросам займут чересчур много места, поэтому ниже мы рассмотрим лишь их общую идею, которая, впрочем, и сама по себе непроста для уяснения.

Сперва показывалось, что если конус имеет образующую длиной L и радиус основания R, то площадь боковой поверхности конуса равна π·R·L. Истинность этой формулы понять несложно. Опишем вокруг основания конуса правильный многоугольник и построим поверх конуса пирмиду равной с ним высоты. Боковая поверхность пирамиды складывается из суммы площадей равнобедренных треугольников, высота каждого из которых равна L. Если мы станем неограниченно увеличивать число сторон описанного многоугольника, то его периметр (а значит и сумма оснований всех боковых треугольников) будет стремиться к длине исходной окружности, а сами боковые треугольники устремятся к поверхности конуса, площадь которой, теперь станет можно вычислить как (2·π·R)·L/2 = π·R·L.

Уже должно быть понятно, что описанный нами «атомистический» подход, не подходил для обоснования точного решения, хотя, вероятнее всего, использовался Архимедом для того, чтобы заранее понимать, к какому выводу необходимо прийти с помощью метода исчерпывания. Кроме того обозначение для числа π Архимед не употребил. В реальности описанное выше соотношение формулировалось им в следующем виде: площадь боковой поверхности конуса равна площади некоторого круга, радиус которого имеет величину (R·L)0,5, то есть длина радиуса является средней пропорциональной между L и R. Доказывалось это за счет ложного предположения (будто площадь боковой поверхности конуса больше либо меньше площади указанной окружности), которое неизменно приводило к нарушению каких-либо соотношений, получаемых из условия подобия рассматриваемых фигур. Фактически все рассуждения в очередной раз сводились к очень долгому и скрупулезному способу избежать предельного перехода при заранее известном ответе.

В любом случае теперь уже несложно вывести соотношение для определения площади боковой поверхности усеченного конуса: она равна π·(r1+r2)·l = π·r1·l + π·r2·l, где под l понимется образующая усесенного конуса, а r1 и r2 являются радиусами верхнего и нижнего основания.

Доказав теорему для конуса, Архимед приступает к вычислению площади боковой поверхности шара. Для этого потребовалось вписать в круг правильный многоугольник с четным числом сторон, провести вспомогательные линии (кроме BC) и мысленно повернуть весь чертеж вокруг диаметра AB. В результате получался шар и вписанное в него сложное тело, составленное из двух конусов (сверху и снизу) и множества усеченных конусов. Очевидно, что поверхность шара всегда окажется несколько больше поверхности сложного тела. Кроме того важно заметить три вещи. Во-первых, у всех конусов и усеченных конусов будет одинаковая образующая, равная AC, так как наш многоугольник правильный. Во-вторых, все конусы и усеченные конусы имеют по одному общему основанию. В-третьих, треугольник ACB всегда является прямоугольным, независимо от числа сторон многоугольника (именно это говорит нам теорема Фалеса).

Формулу для поверхности сложного тела записать нетрудно, достаточно лишь проссумировать все выражения для поверхностей отдельных конусов и усеченных конусов. Она будет равна проихзведению числа π на образующую AC и на сумму всех диаметров в основании конусов (диаметров, а не радиусов, поскольку радиус каждого основания войдет в общую сумму дважды). То есть S = π·Σ(Di)·AC.

Затем Архимед рассматривает заштрихованные прямоугольные треугольники и показывает, что они подобны между собой, а также подобны треугольнику ACB. Из условий подобия можно получить, что сумма длинн всех диаметров в основаниии конусов так относится к AB, как BC к AC. То есть Σ(Di)/AB = BC/AC или Σ(Di) = AB·BC/AC. Отсюда получается, что поверхность искомого сложного тела равна S = π·AB·BC, а, поскольку хорда BC меньше диаметра AB, то площадь поверхности тела меньше π·AB2 (то есть меньше π·D2 или 4·π·R2).

На втором этапе доказательства Архимед описывает вокруг круга правильный многоугольник и, рассуждая полностью таким же образом, показывает, что площадь поверхности сложного тела, описанного вокруг шара, всегда будет больше, чем 4·π·R2. Поскольку, увеличивая число сторон вписанного и описанного многоугольников, можно сделать разницу между их площадями сколь угодно малой, то далее Архимед по уже привычному для нас шаблону показывает, что площадь поверхности шара не может отличаться от 4·π·R2, иначе это приводит к абсурду. Таким образом, доказано, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга

Для определения объема шара Архимеду пришлось воспользоваться другим изящным приемом. Он вновь вписал в круг правильный многоугольник с четным числом сторон, однако поделил его на сектора уже по-иному (как это показано на левом чертеже). Затем и круг, и все сектора мысленно поворачивались вокруг диаметра AB. В результате получался шар и уже знакомое нам вписанное в него сложное тело. Однако же теперь это тело состояло из осесимметричных кусочков, подобных тому, который показан на центральном чертеже. Только ближайшие к диаметру сектора давали тела, состоящие из двух конусов, как показано на нижнем