Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Если характеристики, относящиеся к народонаселению, распределены нормально — другими словами, группируются вблизи среднего и ложатся на колоколообразную кривую, — и если колоколообразная кривая есть результат случайных ошибок, то, как утверждал Кетле, вариации в человеческих характеристиках можно воспринимать как ошибки, отвечающие отклонению от некоего образца. Он назвал такой образец «l’homme тоуеп» — «средний человек». Популяции, утверждал он, составлены из отклонений от этого образца. По мысли Кетле, следовало всячески стремиться к тому, чтобы быть средним, потому что именно таким образом общество удерживалось бы под контролем, а отклонения от среднего, писал он, приводят к «телесному уродству и моральному разложению». Хотя концепция «l'homme тоуеп» не получила признания в науке, использование этого термина просочилось в широкие слои общества. Часто, рассуждая о морали или вкусах, мы апеллируем к тому, что подумал или почувствовал бы средний представитель человечества, и говорим о том, что приемлемо «с точки зрения среднего человека».

Кетле превозносил идею среднего, но Гальтон смотрел на нее свысока. Как уже говорилось, Гальтон заметил, что результаты экзаменов следуют нормальному распределению. Больше всего людей получают средние оценки, и лишь немногие — очень высокие или очень низкие. Сам Гальтон, кстати, происходил из семьи, которая весьма заметно возвышалась над средним. Двоюродным братом ему приходился Чарльз Дарвин, с которым он регулярно обменивался научными идеями. Лет через десять после выхода книги Дарвина «О происхождении видов» Гальтон начал теоретизировать о способах управления человеческой эволюцией. Его интересовала передача гениальности по наследству, и он задавался вопросом о том, как можно было бы повысить уровень интеллекта населения в целом. Он стремился сдвинуть колоколообразную кривую вправо. С этой целью Гальтон предложил новую область исследований, направленных на «культивацию расы», то есть повышение интеллектуального потенциала населения посредством направленного разведения одаренных людей. Одно время он думал назвать свою новую науку «витикультурой», от латинского «vita» — жизнь, но в конце концов остановился на «евгенике» — от греческого «eu» — хороший и «genos» — род. (Сегодняшнее значение слова «витикультура», относящееся к возделыванию винограда, происходит от «vitis» — лоза по-латыни — и восходит примерно к тому же самому времени.) Хотя немало либерально настроенных интеллектуалов в конце XIX и начале XX столетия поддерживали евгенику как способ улучшения общества, идея «разводить» более умных людей впоследствии претерпела значительные искажения и окончательно дискредитировала себя, когда в 1930-х годах евгеника стала синонимом бесчеловечной политики нацистов по созданию высшей арийской расы.

Оглядываясь назад, не так уж сложно заметить, что оценочные критерии — такие, как уровень интеллекта или расовая чистота, — могут порождать дискриминацию и слепой фанатизм. Поскольку колоколообразная кривая появляется, как только какие-то человеческие качества подвергаются измерению, она стала неким сигналом, говорящим о том, что предпринимаются попытки объявить некоторых людей априори лучше других. Примером, наделавшим много шума, стала публикация в 1994 году книги Ричарда Дж. Херрнстайна и Чарльза Мюррея «Колоколообразная кривая». Эта книга вызвала яростную полемику. Название ее апеллирует к результатам распределения тестов на IQ: авторы этого труда утверждают, что различия в IQ между расовыми группами свидетельствуют о биологических различиях. Гальтон писал, что колоколообразная кривая правит «невозмутимо и незаметно». Ее наследие, однако, оказалось каким угодно, но только не спокойным и не незаметным.

Другой способ получить те наборы цифр, которые мы наблюдаем, рассматривая распределение шариков в квинканксе, состоит в том, чтобы сложить из них нечто вроде числовой пирамиды. Организованные таким образом цифры более известны как треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля можно построить методом гораздо более простым, чем изучение распределения шариков, случайным образом просеивающихся через квинканкс. Начнем с 1 в первой строке, а под ней расположим две 1 так, чтобы все они образовывали треугольник. В следующих строках всегда будем помещать по 1 в начале и в конце, а во всех остальных положениях будем писать сумму двух чисел, расположенных выше.

Этот треугольник назван по имени Блеза Паскаля, хотя Паскаль был далеко не первым, кого очаровала эта конструкция. Индийские, китайские и персидские математики знали об этой структуре за столетия до Паскаля. Правда, Паскаль, в отличие от предшественников, написал книгу о том, что он называл «le triangle arithmetique». Его зачаровывала математическая глубина открытых им структур. «Удивительно, насколько изобилен он (имелся в виду треугольник) в своих свойствах», — поражался Паскаль, добавляя, что в книгу он смог поместить меньшую часть того, что ему известно.

Мне в треугольнике Паскаля больше всего нравится вот какое свойство. Пусть каждое число сидит в квадратике. Закрасим черным все квадратики с нечетными числами, а все квадратики с четными числами оставим белыми. В результате получается чудесная мозаика:

Возникающий узор напоминает ковер Серпинского — кусок математической фрактальной структуры, похожий на обивку, о котором говорилось во второй главе (квадрат делится на девять подквадратов, а потом центральный подквадрат удаляется, и тот же процесс повторяется для каждого из оставшихся подквадратов до бесконечности). Треугольный вариант ковра Серпинского называется треугольником Серпинского: в данном случае равносторонний треугольник делится на четыре одинаковых равносторонних треугольника, средний из которых затем удаляется, а три оставшихся снова подвергаются той же операции — разбиению на четыре и удалению среднего. Вот как выглядят первые три итерации:

Если распространить описанный выше метод закрашивания треугольника Паскаля на все большее и большее количество строк, то возникающая структура будет все более напоминать треугольник Серпинского. На самом деле в бесконечном пределе треугольник Паскаля становится треугольником Серпинского.

Серпинский — не единственный наш знакомец, кого можно встретить на этом черно-белом паркете. Рассмотрим белые треугольники, расположенные внизу по центру основного треугольника. Первый из них составлен из одного квадрата, второй — из 6 квадратов, третий — из 28, а далее идут числа 120 и 496. Ничего не напоминает? Три из этих чисел — 6, 28 и 496 — это совершенные числа, рассматривавшиеся в седьмой главе. Их появление — замечательное и очень наглядное выражение абстрактных идей, с виду никак не связанных.

Интерес древних индийцев к треугольнику Паскаля был вызван задачей о комбинациях объектов. Пусть, например, у нас имеется три фрукта: манго, личи и банан и всего одна их комбинация: манго, личи, банан. Если же мы желаем выбрать только два фрукта, то сделать это можно тремя различными способами: взять манго и личи, или манго и банан, или же личи и банан. Также тремя способами можно выбрать какой-то один фрукт. Наконец, надо рассмотреть и случай, когда выбирается нуль фруктов, и это можно сделать только одним-единственным способом. Другими словами, число комбинаций трех различных фруктов дает последовательность 1, 3, 3, 1 — третью строчку в треугольнике Паскаля.

С четырьмя объектами число комбинаций, в которых не выбирается а) ни одного объекта, б) выбирается один, в) два сразу, г) три сразу и д) четыре сразу, равны, соответственно, 1, 4, 6, 4, 1, что представляет собой четвертую строчку в треугольнике Паскаля. Подсчет можно продолжить для все большего числа объектов, и окажется, что треугольник Паскаля — это справочная таблица для числа комбинаций. Если у нас есть n предметов и нас интересует, сколько комбинаций можно составить, беря из них m штук, за ответом надо обратиться к m-му элементу в n-й строке в треугольнике Паскаля. (Замечание: примем соглашение, что самой левой 1 в каждой строке приписано нулевое положение в строке.) Например, каково число способов взять три фрукта из имеющихся семи? Таких способов 35, потому что третий элемент в седьмой строке равен 35.