Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Стюарт Иэн

Виттен начал исследования в квантовой теории поля — в области, представляющей собой первые плоды усилий по согласованию квантовой теории с теорией относительности. Релятивистские эффекты движения там учитываются, но только в плоском пространстве-времени. (А гравитация, которая требует искривленного пространства-времени, не рассматривается.) В 1998 году в своей гиббсовской лекции[103] Виттен сказал, что квантовая теория поля «охватывает большую часть того, что нам известно о законах физики, за исключением гравитации. Семидесятилетняя история ее развития включает в себя много значимых вех — от теории „антиматерии“ до более точного описания атомов и Стандартной Модели физики частиц». Он отметил, что, развитая в большей своей части физиками, квантовая теория поля в значительной степени лишена математической строгости и поэтому не оказала большого влияния на математику как таковую.

Подошло время, продолжал Виттен, исправить этот дефект. Несколько важных областей чистой математики, по сути дела, являются квантовой теорией поля, но в иных одеждах. Собственный вклад Виттена — открытие и анализ топологических квантовых теорий поля — допускал прямую интерпретацию в терминах концепций, изобретенных целым рядом чистых математиков в рамках весьма различных контекстов. Сюда относится эпическое открытие, сделанное английским математиком Саймоном Доналдсоном, что четырехмерные пространства уникальны в том отношении, что допускают существование многих различных «дифференцируемых структур» — систем координат, в которых можно строить дифференциальное исчисление. Среди других аспектов — недавнее крупное открытие в теории узлов, известное как многочлены Джонса[104], явление, называемое зеркальной симметрией в теории многомерных комплексных поверхностей, и несколько областей из современной теории алгебр Ли.

Виттен сделал смелое предсказание — одной из важнейших тем в математике двадцать первого века будет интегрирование в основное течение математики идей из квантовой теории поля: «Перед нами здесь раскинулся обширный горный хребет, большая часть которого все еще скрыта в тумане. В математических теориях сегодняшнего дня видны только самые высокие вершины, возвышающиеся над облаками, и эти восхитительные вершины исследуются в отрыве друг от друга. В дымке все еще скрыт сам хребет, покоящийся на гранитном основании квантовой теории поля, а вместе с ним скрыты и россыпи математических сокровищ».

Филдсовская медаль была присуждена Виттену за открытие нескольких из этих скрытых сокровищ. Среди них — новое улучшенное доказательство «гипотезы о положительности массы», в силу которой гравитационная система с положительной локальной плотностью массы должна иметь положительную полную массу. Это может показаться очевидным, но в квантовом мире масса — тонкая материя. Доказательство этого результата, долго стоявшего на повестке дня, было опубликовано Ричардом Шеном и Шинтаном Яу[105] в 1979 году и принесло Яу Филдсовскую медаль за 1982 год. В новом улучшенном доказательстве Виттена использовалась суперсимметрия. То было первое применение этой концепции к важной математической проблеме.

Суперсимметрию можно понять в терминах старой головоломки, в которой спрашивается, какая пробка подойдет к бутылке, отверстие в которой может быть круглым, квадратным или треугольным. Удивительно, но требуемая форма существует, и стандартный ответ — пробка с круглым основанием, которая сходится к острию как клин. При взгляде снизу она видится окружностью; спереди — квадратом; сбоку — треугольником. Одна форма способна выполнить все три задачи, потому что трехмерный объект может иметь несколько различных «теней», или проекций, в различных направлениях.

Как работает суперсимметрия. Слева: пробка, подходящая к отверстиям трех разных форм. Справа: эффект вращения пробки.

Теперь представим себе флатландца, живущего на «полу» моего рисунка, так что ему видна проекция пробки на пол, но он и не подозревает о других проекциях. В один прекрасный день он, к своему изумлению, обнаруживает, что круглая форма каким-то образом изменилась и стала квадратом. Как такое может быть? Это определенно не симметрия.

Не симметрия — да, во Флатландии. Но когда флатландец отвернулся, кто-то, живущий в трехмерии, повернул пробку так, что ее проекция на пол превратилась в квадрат. При этом в трехмерии вращение является преобразованием симметрии[106]. Так что симметрия в более высокой размерности может иногда объяснить совершенно непостижимое преобразование в более низкой размерности.

Нечто очень похожее происходит в суперсимметрии, но вместо превращения окружности в квадрат фермионы там превращаются в бозоны. Это удивительно. В самом деле, вы можете выполнить вычисления с фермионами, напустить на каждый операцию суперсимметрии и получить результат для бозонов без всяких дополнительных усилий[107]. Или наоборот.

Подобного мы ожидаем от настоящих симметрий. Если вы стоите перед зеркалом и жонглируете мячиками, то все происходящее с вашей стороны зеркала полностью определяет происходящее с другой стороны. Ваш образ там жонглирует образами мячиков. Если выполнение последовательности приемов занимает 3,79 с с этой стороны зеркала, то без всяких измерений ясно, что выполнение той же последовательности приемов займет 3,79 с с другой стороны. Две ситуации связаны зеркальной симметрией; что бы ни происходило с одной стороны, оно происходит также и в отражении.

Суперсимметрии не настолько просты, но приводят к похожему эффекту. Они позволяют вывести свойства частиц одного типа из свойств частиц совершенно иного типа. Дело обстоит почти так же, как если бы вы могли забраться куда-то в высокомерную область вселенной и там повернуть фермион, превратив его в бозон. Частицы организуются в суперсимметричные пары: обычной частице отвечает ее повернутая версия, называемая счастицей. Электроны имеют в паре с собой сэлектроны, кварки — скварки. По историческим причинам близнец фотона называется не сфотон, а фотино. Имеется своеобразный «теневой мир» счастиц, который только слабо взаимодействует с обычным миром.

В ногу с этой идеей идет изящная математика, но массы этих предсказываемых теневых частиц слишком велики для того, чтобы их можно было наблюдать в экспериментах[108]. Суперсимметрия прекрасна, но может не быть истинной. Но даже если вопрос не состоит в прямом подтверждении, вполне возможными могут оказаться подтверждения косвенные. Наука проверяет теории главным образом через их следствия.

Виттен активно развивал суперсимметрию и в 1984 году написал статью, озаглавленную «Суперсимметрия и теория Морса». Теория Морса — это область топологии, названная по имени своего первоисследователя Марстона Морса, в которой устанавливается связь общей формы некоторого пространства с его пиками и долинами. Сэр Майкл Атья — вероятно, наиболее крупный из ныне здравствующих британских математиков — считает, что статья Виттена представляет собой «обязательное чтение для геометров, заинтересованных в понимании современной квантовой теории поля. Она также содержит блестящее доказательство классического неравенства Морса. Реальная цель статьи состоит в подготовке почвы для суперсимметричной квантовой теории поля в терминах бесконечномерных многообразий». В дальнейшем Виттен применил эти методы к другим актуальным вопросам на дальних рубежах топологии и алгебраической геометрии.

Должно быть понятно, что, когда я сказал, что Виттен не математик, я не имел в виду отсутствие у него математического таланта. Как раз наоборот — быть может, ни у кого на планете нет большего математического таланта. Но в случае Виттена к этому добавляется удивительная физическая интуиция.