Природа боится пустоты - Дмитрий Александрович Фёдоров

плоское сечения отдельно прямоугольного (парабола), тупоугольного (гипербола) и остроугольного (эллипс) конусов.

Занимаясь удвоением куба, Менехм дал два решения: пересечением двух парабол и пересечением параболы и гиперболы. Понять эти решения несложно. Для удвоения куба необходимо извлечение корня третьей степени, которое невозможно осуществить с помощью циркуля и линейки, однако, если мы добавим к прямым и окружностям еще и конические сечения, то проблема разрешится довольно легко. Так, если нам требуется получить корень уравнения x3 = a, то в первом случае необходимо найти точку пересечения двух парабол x2 = ay и y2 = 2ax. Во втором случае нужно отыскать точку пересечения параболы y = x2 и гиперболы y = a/x. В обоих случаях решением будет точка с абсциссой x = a1/3.

Правда, греки не пользовались алгебраическими обозначениями и не записывали уравнения кривых, однако их словесные описания и графические построения были достаточно близки к современным.

Краткие итоги первого этапа развития греческой математики

Такова была, в общих чертах, та математическая традиция, с которой греки вступили в эпоху эллинизма. Некоторая сложность изложенного материала не должна смущать читателя, но наоборот — призвана показать, насколько высоко поднялась античная геометрическая мысль (мы коснулись здесь лишь немногих самых интересных моментов). Именно на этом фундаменте создавали свои труды такие заслуженные мастера, как Евклид, Архимед и Аполлоний, о которых мы поговорим в следующей главе. Конечно, полная геометризация всей математики являлась, с современной точки зрения, неудачным решением, которое чрезмерно усложнило всякие операции и преобразования. Евклиду приходилось отдельно доказывать для чисел всё то же самое, что перед этим было доказано для длин отрезков. Однако, поскольку адекватной арифметической теории несоизмеримых величин просто не существовало, то выбранная дорога казалась наилучшей из возможных. Когда Рене Декарт, два тысячелетия спустя, вновь возвращал арифметику на первое место, он просто предположил, что проблему несоизмеримости решат когда-нибудь в будущем.

Другим важным следствием открытия иррациональных величин оказалось забвение примитивных методов анализа, которые хоть и были неточны, но зато позволяли получать новые знания. Отказ от метафизических «неделимых» в пользу логической строгости имел результатом то, что процедура математического творчества оказалась полностью выхолощенной. Метод исчерпывания хоть и являлся мощнейшим инструментом для безупречных доказательств, но при этом сам по себе не обогатил геометрию ни одной новой истиной. Отныне математикам оставалось лишь до блеска отшлифовывать аргументацию, выстраивая безупречные обоснования старых теорем. Времена математического созидания и поиска сменились долгим периодом обобщения и подведения итогов.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. СВЕДЕНИЕ К АБСУРДУ

«Начала» Евклида

Само становление греческой математики служит яркой иллюстрацией того, как творческая научная мысль становится лишь отражением протекающих в обществе процессов. В нескольких предыдущих главах мы проследили историю античной геометрии как раз до времени походов Александра, после которых мир эллинов радикально преобразился. Наступило время подведения промежуточных итогов. И отныне не было иного места, где условия для подобной работы оказались бы лучше, чем в Александрии.

Уже первый математик Музея — Евклид, о жизни которого ничего неизвестно, — составил так называемые «Начала», объединившие почти всю накопившуюся геометрическую мудрость в единый учебный курс. Данный труд опирался на сочинения Гиппократа Хиосского и Евдокса, поэтому содержал мало нового, зато отличался логической последовательностью и стройностью изложения, а потому быстро вытеснил все предыдущие руководства и учебники. Старые математические сочинения (включая разнообразные «Начала» более ранних авторов) больше не переписывались, и уже к первому веку нашей эры они полностью исчезли из обращения. Лишь от некоторых сохранились краткие отрывки, чаще всего в виде цитат и упоминаний.

Общая цель Евклида заключалась в том, чтобы дедуктивно построить систему рассуждений на базе небольшого числа определений и аксиом. Для своего времени он блестяще справился с поставленной задачей: на две тысячи лет его работа стала настольной книгой для каждого европейского математика. Современному же читателю «Начала», скорее всего, покажутся сухим и переусложненным текстом, в котором полностью отсутствуют общие слова и авторские замечания, зато много повторений и непривычные термины. Методология Евклида не подразумевала никакой проверки исходных предположений, но текст «Начал» оказался настолько удачным, что принятые там аксиомы и постулаты считались единственно возможными вплоть до XIX века, когда Лобачевский, наконец, показал, что только наблюдение способно помочь нам определить каковы же они в действительности.

Структурно «Начала» разделены на 13 книг (глав), каждая из которых посвящена своему вопросу.

Книга I содержит основные определения, постулаты (допущения), аксиомы (интуитивно понятные положения) и предположения (задачи, где нужно что-либо построить, или теоремы, в которых требуется что-либо доказать). Особо большой интерес представляет пятый постулат Евклида, звучащий следующим образом: «Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние углы суммой меньше двух прямых, то будучи неограниченно продолженными эти две прямые пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых».

Из данного утверждения непосредственно следует, что через не лежащую на какой-либо прямой точку, можно провести лишь одну прямую параллельную исходной. На отрицании именно этого положения и построена геометрия Лобачевского.

Другие четыре постулата Евклида почти банальны, поскольку гласят, что через две точки можно провести прямую, что всякая прямая не имеет концов, что вокруг любой точки можно описать круг, а все прямые углы равны между собой. Пятый же постулат, как видно, совсем не так прост. Необходимо признать большую прозорливость того грека (едва ли это был сам Евклид), который впервые осознал необходимость внести это нетривиальное положение в число обязательных допущений.

Предложения книги I начинаются с построения равностороннего треугольника на заданной стороне и заканчиваются теоремой Пифагора (безо всякого указания ее авторства), причем показывается именно равенство площадей квадратов, построенных на гипотенузе и катетах. Заметим заодно, что под равенством фигур Евклид всегда понимает именно равенство площадей, тогда как то, что считаем равенством мы, называлось у него «равенством и подобием».

II книга Евклида посвящена геометрической алгебре, то есть графическим вычислительным приемам, которые мы уже достаточно подробно рассмотрели в предыдущих главах. Напомним еще раз, что это был единственный известный грекам способ «работы с формулами», если не считать их словесного описания.

В III книге говорится о свойствах окружностей, хорд, касательных и построенных на них углов; IV книга посвящена правильным многоугольникам; V книга рассказывает о теории пропорций, учитывающей несоизмеримые величины (то есть приводит теорию Евдокса об иррациональных); в VI книге рассматриваются в основном задачи о площадях параллелограммов (здесь же приводится уже известный нам графический способ решить