Загадки и диковинки в мире чисел - Яков Перельман

«Второй способ деления называется в Венеции [13] лодкой или галерой, вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями – выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами»…

Читается это очень весело: так и настраиваешься скользить по числовому морю на парусах арифметической галеры. Но хотя старинный итальянский математик и рекомендует этот способ как – «самый изящный, самый легкий, самый верный, самый употребительный и самый общий из существующих, пригодный для деления всех возможных чисел», – все же я не решаюсь его изложить здесь, опасаясь, что даже терпеливый читатель закроет книгу в этом скучном месте и не станет читать дальше. Между тем этот утомительный способ действительно был самым лучшим в ту эпоху, а у нас в России употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Магницкого он описан в числе шести предлагаемых там способов (из которых ни один не похож на современный) и особенно рекомендуется автором; Магницкий на протяжении своей объемистой книги – 640 страниц огромного формата – пользуется исключительно «способом галеры», хотя и не употребляет этого наименования.

В заключение покажем читателю эту числовую «галеру», воспользовавшись примером из упомянутой книги Тартальи:

Мудрый обычай старины

Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметического действия, предки наши считали необходимым непременно проверить этот в поте лица добытый итог. Громоздкие приемы вызывали естественное недоверие к их результатам. На длинном, извилистом пути легче заблудиться, чем на прямой дороге современных приемов. Отсюда естественно возник старинный обычай проверять каждое выполняемое арифметическое действие – похвальное правило, следовать которому не мешало бы и нам.

Любимым приемом проверки был так называемый способ 9, – очень изящный прием, который полезно и теперь знать каждому. Он нередко описывается в современных арифметических учебниках, особенно иностранных, но почему-то теперь малоупотребителен на практике, что, впрочем, не умаляет его достоинств.

Проверка девяткой основана на «законе остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число; точно так же, остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также [14] , что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает 2, и столько же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба свойства чисел, мы и приходим к приему проверки девяткой, т. е. делением на 9.

Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца:

Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся числах также складываем цифры (это делается в самом процессе сложения цифр), пока, в конечном результате, не получим однозначного числа. Результаты эти (остатки от деления на 9) записываем, как показано на примере, рядом с соответствующим слагаемым. Складываем все остатки – получаем 8. Такова же должна быть сумма цифр итога (5339177), если действие выполнено верно: 5 + 3 + 3 + 9+1 + 7 + 7 после всех упрощений, равно 8 (точнее: «равноостаточно с 8»).

Проверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность – за слагаемое. Например:

4 + 6 = 10, т. е. 1.

Не сложна и проверка умножения, как видно из следующего примера:

Если при такой проверке умножения обнаружена будет ошибочность результата, то, чтобы определить, где именно ошибка находится, можно проверить способом девятки каждое частное произведение отдельно; а если здесь ошибки не окажется, надо проверить еще и сложение частных произведений. Такая проверка сберегает время и труд, конечно, только при умножении многозначных чисел; при малых числах проще заново выполнить действие.

Проверка деления по этому способу требует маленького пояснения. Если имеем случай деления без остатка, то проверка производится, как и при умножении: делимое рассматривается как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = делителю × частное + остаток. Например:

В «Арифметике» Магницкого предлагается для проверки девяткой следующее удобное расположение:

Для умножения:

Для деления:

Подобная проверка, без сомнения, не оставляет желать лучшей в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее надежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, ведь одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; поэтому не только перестановка цифр, но иной раз даже и замена одних цифр другими остаются при такой проверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, так как они не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием проверки было бы неосмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одною лишь проверкой с помощью девятки, но производили еще дополнительную проверку – чаще всего с помощью семерки. Этот прием основан на том же «правиле остатков», но не так удобен, как «способ девятки», потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (причем легко возможны ошибки в действиях самой проверки). Две проверки – девяткой и семеркой – уже являются гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной проверки, то будет уловлено другою. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов кратна числу 7 × 9 = 63. Так как это все же случайно возможно, то и двойная проверка не может дать полной уверенности в правильности результата. Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на 1 или на 2 единицы, можно ограничиться только проверкою девяткой. Дополнительная проверка семеркой чересчур обременительна. Всякий контроль хорош только тогда, когда не мешает работе.

«Русский» способ умножения

В некоторых местностях у наших крестьян приходится иногда наблюдать применение очень остроумного способа умножения целых чисел, который не похож на обычный школьный прием и унаследован, по-видимому, от глубочайшей древности. Способ это интересен тем, что, пользуясь им, можно обходиться без таблицы умножения, так как умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Вот пример:

32 × 13

16 × 26

8 × 52

4 × 104

4 × 208

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Основание этого приема очевидно: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

32 × 13 = 1 × 416.

Но как поступать, если приходится делить пополам число нечетное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо – гласит правило, – в случае нечетного числа откинуть единицу и остаток делить пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):

19 × 17

9 × 34

4 × 68*

2 × 136*

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

Нетрудно понять полную теоретическую обоснованность этого приема, если принять во внимание, что

19 × 17 = (18 + 1) 17= 18 × 17 + 17 9 × 34 = (8 + 1) 34 = 8 × 34 + 34 и т. п.

Ясно, что числа – 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Нельзя, как видите, отказать в практичности этому народному приему умножения, который один научный английский журнал («Knowledge» – знание) окрестил «русским крестьянским» способом.

Из Страны пирамид

Весьма вероятно, что способ этот дошел до нас из глубочайшей древности и притом из отдаленной страны – из Египта. Мы мало знаем, как считали и производили действия обитатели древней Страны пирамид. Но сохранился любопытный памятник – папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта; это так называемый папирус Ринда, относящийся ко времени между 2000 и 1700 гг. до нашей эры [15] и представляющий собою копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец [16] Аамес, найдя «ученическую тетрадку» этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера – вместе с их ошибками и исправлениями учителя – и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде: