Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ) - БСЭ БСЭ

  Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых уравнений 2-й степени в рациональных числах.

Эйлера постоянная

Э'йлера постоя'нная, предел

 С = 0,577215 ...,

рассмотренный Л. Эйлером в 1740. Эйлер дал для С ряд представлений в форме рядов и интегралов; например,

,

,

где x(s ) — дзета-функция . Встречается в теории различных классов специальных функций, например гамма-функции . До сих пор неизвестно, является ли Э. п. иррациональным числом.

Эйлера уравнение

Э'йлера уравне'ние,

  1) дифференциальное уравнение вида

, (*)

где a o ,... , an — постоянные числа; при х> 0 уравнение (*) подстановкой х = et сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. Эйлером с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' = ax + b уравнение

.

  2) Дифференциальное уравнение вида

,

где X (x ) = a0 x4 + a1 x 3 + a 2 x 2 + a3 x + a4 , Y (y ) = а0 у4 +а1 у 3 +а2 у 2 +а3 у +a4 . Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х , у ) = 0, где F (х , у ) — симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.

  3) Дифференциальное уравнение вида

'

служащее в вариационном исчислении для разыскания экстремалей интеграла

.

  Выведено Л. Эйлером в 1744.

Эйлера уравнения

Э'йлера уравне'ния,

  1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

  Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

Ix + (Iz — I y ) wy wz = Mx ,

I y + (Ix —  Iz ) wz wx = M y , (1)

Iz + (I y — Ix ) wx wy = Mz ,

где Ix , I y , Iz — моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, wх , wу , wz — проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx , M y , Mz — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , ,    — проекции углового ускорения.

  Кинематические Э. у. дают выражения wх , wу , wz через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид

wx = sin q sinj + cosj,

wу = sin q cosj — sinj, (2)

wz =  + cos q.

  Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

  2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р , плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u , u , w и проекции действующей объёмной силы X , У , Z рассматривать как функции координат x , у , z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X , У , Z , а также начальные и граничные условия, определить u , u, w, р , r, как функции х , у , z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

  В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р ) (или r — const, когда жидкость несжимаема).

  Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

  Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

  С. М. Тарг.

Эйлера формулы

Э'йлера фо'рмулы в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером .

  1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):

eix = cos х + i sin х ,

, .

  2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):

.

  3) Тождество Эйлера о простых числах:

,

  где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.

  4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:

(a 2 +b 2 + c 2 + d 2 )(p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = x 2 +y 2 +z 2 +t 2 , где

,

,

,

.

  5) формула Эйлера о кривизнах (1760):

.

  Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R 1 и 1/R 2 и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.

  Эйлеру принадлежит также Эйлера—Маклорена формула суммирования, Эйлера—Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды .

  Лит. см. при ст. Эйлер .

Эйлера функция

Э'йлера фу'нкция, число j(а ) натуральных чисел, меньших, чем а , и взаимно простых с а :

,

где p1 ,... , pk — простые делители числа а. Введена Л. Эйлером в 1760—61. Если числа а и b взаимно просты, тоj(ab ) = j(а ) j(b ). При т> 1 и наибольшем общем делителе (а , m ) = 1, а , m — взаимно просты, имеет место сравнение a j(m ) = 1 (mod m ) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах чисел теории .

Эйлера числа

Э'йлера чи'сла в математике, целые числа Еп , являющиеся коэффициентами при t n /n !, в разложении функции 1/ cht (см. Гиперболические функции ) в степенной ряд:

  Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (Е +1) n +(E ¾1) n = 0, n = 1, 2, 3,..., E 0 = 1 (после возведения в степень надо вместо Ek подставить Ek ) и с Бернулли числами — соотношениями