Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Дербишир Джон

14,134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149963429809256764949010393171561012779202971548797436766142691469882254582505363239447713778041338123720597054962195586586020055556672583601077370020541098266150754278051744259130625448…. V.

За таблицей 16.1 скрываются разнообразные истории. Фигурирующий там А.М. Тьюринг, например, — это тот самый Алан Тьюринг, который работал в области математической логики, разработав идею теста Тьюринга (способ решить, обладает ли компьютер или программа интеллектом) и машину Тьюринга (идеализированный компьютер, некий вариант мысленного эксперимента, позволяющий решать определенные задачи в математической логике). Имеется Премия Тьюринга, которую начиная с 1966 года ежегодно присуждает Ассоциация вычислительной техники за достижения в области программирования и прикладной математики, — аналог Филдсовской медали по математике или же Нобелевской премии в других науках.[150]

Тьюринг был зачарован Гипотезой Римана. К 1937 году (когда ему было 26 лет) он составил мнение, что Гипотеза не верна, и вынашивал идею построения механического вычислительного устройства, которое позволило бы найти контрпример — нуль вне критической прямой. Он подал заявку на грант в Королевское общество с тем, чтобы покрыть расходы на создание этого устройства, и даже сам выточил несколько зубчатых колес на инженерном факультете Кингс-колледжа в Кембридже, где он тогда преподавал.

Работа Тьюринга по созданию «дзета-функциональной машины» резко прервалась в 1939 году, когда разразилась Вторая мировая война. Он перешел работать в Британскую школу кодов и шифров[151] в Блетчли-Парк и провел там все годы войны, посвятив себя раскрытию немецких военных шифров. Однако некоторые из зубчатых колес сохранились — они остались среди его вещей после смерти ученого, последовавшей (как считается, в результате самоубийства) 7 июня 1954 года.

При том, насколько печальной и необычной была смерть Тьюринга (он съел яблоко, в которое сам ввел цианистый калий), он снискал себе посмертную славу стараниями биографов. Эндрю Ходжес написал о нем замечательную книгу («Алан Тьюринг: Энигма», 1983), а Хью Уайтмор сделал по ней чрезвычайно интересную пьесу («Разгадка шифра», 1986).

У меня нет возможности вдаваться глубже в подробности жизни Тьюринга. Я отсылаю читателя к биографии, написанной Ходжесом, из которой процитирую только следующее:

15 марта [1952 года] он направил для публикации работу по вычислению дзета-функции, несмотря на то что предпринятая ранее практическая попытка такого вычисления на прототипе компьютера в Манчестерском университете оказалась неудовлетворительной. Возможно, он просто хотел закончить с этим делом на тот случай, если ему придется отправиться в тюрьму.

31 марта 1952 года Тьюринг предстал перед судом по 12 обвинениям в «крайне непристойном поведении», поскольку в то время в Британии гомосексуальные акты по взаимному согласию были уголовно наказуемы. В конечном итоге он не попал в тюрьму: его признали виновным, однако дали условный срок с оговоркой, что он согласится на медицинское вмешательство. «В Британии 1952 года не было, — пишет Ходжес, — понятия о праве на сексуальное самовыражение».

Есть и другие истории. Эдвард Титчмарш — ученик Харди (кстати, учеником Харди был и Тьюринг) — получил свои 1041 нулей[152], используя для этого работающие с перфокартами машины, арендованные у Британского адмиралтейства, где с их помощью составляли таблицы приливов. На основании этих результатов Титчмарш написал классический математический текст по дзета-функции.[153]{A7} Разумеется, с появлением электронных компьютеров после Второй мировой войны вся эта «механическая» вычислительная деятельность подошла к своему концу.

Есть еще истории… однако я слишком отклонился от темы.[154] Я собирался рассказать о формуле Римана-Зигеля.

VI.

Первые три строки в таблице 16.1 — это вклады Грама, Бэклунда и Хатчинсона, полученные как результат упорного труда с карандашом, бумагой и томами математических таблиц. Это был тяжелый вычислительный труд — значения дзета-функции посчитать нелегко. Основной метод, называемый «суммированием Эйлера-Маклорена», был развит около 1740 года Леонардом Эйлером и, независимо от него, шотландским математиком Колином Маклореном. Он основан на аппроксимации интегралов длинными и сложными суммами. Несмотря на свою чрезвычайную трудоемкость, этот метод оставался наилучшим из всех предложенных. Грам сам в течение примерно года пробовал работать с несколькими другими методами, но без большого успеха.

Суть открытия, которое сделал Карл Зигель, изучая Nachlass Римана в геттингенской библиотеке, такова: в ходе исследований, приведших к статье 1859 года Бернхард Риман разработал гораздо лучший метод вычисления нулей и, более того, применил его и сам нашел первые три нуля! Никаких следов этого в статье 1859 года не видно. Все осталось скрытым в Nachlass.

Вот что пишет Хэролд Эдвардс: «Риман в действительности обладал средствами, позволявшими вычислять ζ(1/2 + ti) с впечатляющей точностью».[155] Однако Риман удовлетворился достаточно грубыми вычислениями, поскольку точное знание о положении нулей не играло существенной роли в его работе. Он получил мнимую часть первого нуля (см. выше) равной 14,1386 и проверил, что это действительно первый нуль; второй и третий он вычислил с точностью до одной или двух сотых.

Открытие формулы Римана, которая после обработки и опубликования ее Зигелем стала формулой Римана-Зигеля, сильно упростило работу по получению нулей. На этой формуле держались все значимые исследования до середины 1980-х годов. Например, классическая статья Эндрю Одлыжко 1987 года «О распределении интервалов между нулями дзета-функции», о которой еще много будет сказано в главе 18.v, опиралась на формулу Римана-Зигеля. На основе этой работы Одлыжко и Арнольд Шонхаге позднее развили и реализовали некоторый улучшенный алгоритм, но все тем не менее основано на формуле Римана-3игеля.[156]

Карл Зигель, кстати, не был евреем, и его напрямую не задевали ограничительные законы в начальный период нацизма. Однако он не терпел нацистов и уехал из Германии в 1940 году, начав работать в Институте высших исследований в Принстоне. Он вернулся в Германию в 1951 году и завершил карьеру в качестве профессора в том самом Геттингене, где за двадцать лет до того архивы позволили ему увидеть, как яркую вспышку, невероятную мощь ума, скрывавшегося за тихой застенчивостью Бернхарда Римана.

Глава 17. Немного алгебры

I.

Этой книге следовало бы содержать куда больше алгебры, чем в конце концов в ней оказалось. Мы уделяли основное внимание Бернхарду Риману и его работе о простых числах и дзета-функции. Эта работа относится к теории чисел и анализу, и поэтому в нашем рассказе преобладали именно эти темы. Однако современная математика, как уже отмечалось, стала довольно алгебраической. В данной главе читателю предлагаются алгебраические сведения, которые могут потребоваться для понимания двух важных подходов к Гипотезе Римана.