Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории - Брайан Грин

Как станет ясно далее, для более полной аналогии с теорией струн следует рассмотреть случай, когда начальное капиталовложение распределяется неравномерно между акциями двух компаний, например, покупается 1 000 акций первой компании и 3 000 акций второй компании. Теперь полная итоговая стоимость будет зависеть от того, какие акции упадут в цене, а какие вырастут. Например, если акции первой компании будут стоить $10, а акции второй — 10 центов, то начальное капиталовложение $4 000 вырастет до $10 300. Если случится противоположное, т. е. акции первой компании будут стоить 10 центов, а акции второй — $10, то капиталовложение вырастет до $30 100, что значительно больше.

Однако обратная зависимость цен акций гарантирует следующее. Если другой вкладчик распределяет капиталовложения прямо противоположным образом, т. е. покупает 3 000 акций первой компании и 1 000 акций второй компании, то в результате он получит $10 300 в случае роста акций второй компании (ту же сумму, которую получит первый вкладчик в случае роста акций первой компании) и $30 100 в случае роста акций первой компании (снова ту же сумму, которую получит первый вкладчик в противном случае). Таким образом, с точки зрения полной стоимости акций обмен типов поднявшихся и упавших в цене акций в точности компенсируется обменом числа акций каждой из двух компаний.

Приняв к сведению последнее наблюдение, снова обратимся к теории струн и рассмотрим возможные энергии струны на конкретном примере. Предположим, что радиус циклического измерения вселенной Садового шланга в 10 раз больше планковской длины. Запишем это в виде формулы R = 10. Струна может быть намотана вокруг этого измерения один раз, два раза, три раза и т. д. Число оборотов струны вокруг циклического измерения называют топологическим числом[37] струны. Энергия, обусловленная намоткой струны, определяется длиной намотанной струны и пропорциональна произведению радиуса на топологическое число. Кроме того, любая струна способна совершать колебательные движения. Интересующие нас сейчас энергии однородных колебаний обратно пропорциональны радиусу, т. е. пропорциональны произведению целочисленных множителей на обратный радиус 1/R, равный, в данном случае, одной десятой планковской длины. Мы будем называть эти целочисленные множители колебательными числами.{68}

Видно, что ситуация очень напоминает ситуацию на фондовой бирже. При этом топологические и колебательные числа являются непосредственными аналогами количеств купленных акций двух компаний, а R и 1/R играют роль цен на акции каждой компании по завершении торгов. Вычислить полную энергию струны, зная колебательное число, топологическое число и радиус, так же просто, как вычислить стоимость капиталовложения, исходя из количества акций каждой компании и стоимости акций после завершения торгов. В табл. 10.1 приведён ряд результатов для полных энергий различных конфигураций струн в случае вселенной Садового шланга радиуса R = 10.

Таблица 10.1. Выборочные колебательные и топологические конфигурации струны, движущейся во Вселенной с радиусом R = 10 (рис. 10.3). Колебательные вклады в энергию кратны 1/10, а топологические вклады кратны 10. В результате получаются перечисленные значения полной энергии. Единицей измерения энергии является планковская энергия, т. е., например, 10,1 в правом столбце соответствует значению 10,1, умноженному на планковскую энергию

Колебательное число Топологическое число Полная энергия 1 1 1/10 + 10 = 10,1 1 2 1/10 + 20 = 20,1 1 3 1/10 + 30 = 30,1 1 4 1/10 + 40 = 40,1 2 1 2/10 + 10 = 10,2 2 2 2/10 + 20 = 20,2 2 3 2/10 + 30 = 30,2 2 4 2/10 + 40 = 40,2 3 1 3/10 + 10 = 10,3 3 2 3/10 + 20 = 20,3 3 3 3/10 + 30 = 30,3 3 4 3/10 + 40 = 40,3 4 1 4/10 + 10 = 10,4 4 2 4/10 + 20 = 20,4 4 3 4/10 + 30 = 30,4 4 4 4/10 + 40 = 40,4

Полная таблица была бы бесконечно длинной, так как топологические и колебательные числа могут принимать произвольные целые значения, однако представленный фрагмент таблицы достаточен для обсуждения. Из таблицы видно, что она соответствует ситуации больших топологических вкладов и малых колебательных вкладов: топологические вклады кратны 10, а колебательные вклады кратны 1/10.

Предположим теперь, что радиус циклического измерения сужается, скажем, с 10 до 9,2, затем до 7,1 и далее до 3,4, 2,2, 1,1, 0,7 и т. д. до 0,1 (1/10), где, в нашем примере, процесс сужения прекращается. Для такой геометрически иной формы вселенной Садового шланга можно построить аналогичную таблицу энергий струн. В ней топологические вклады кратны 1/10, а колебательные вклады кратны обратному значению, т. е. 10. Результаты сведены в табл. 10.2.

Таблица 10.2. Аналогична табл. 10.1, но значение радиуса выбрано равным 1/10

Колебательное число Топологическое число Полная энергия 1 1 10 + 1/10 = 10,1 1 2 10 + 2/10 = 10,2 1 3 10 + 3/10 = 10,3 1 4 10 + 4/10 = 10,4 2 1 20+ 1/10 = 20,1 2 2 20 + 2/10 = 20,2 2 3 20 + 3/10 = 20,3 2 4 20 + 4/10 = 20,4 3 1 30+ 1/10 = 30,1 3 2 30 + 2/10 = 30,2 3 3 30 + 3/10 = 30,3 3 4 30 + 4/10 = 30,4 4 1 40+ 1/10 = 40,1 4 2 40 + 2/10 = 40,2 4 3 40 + 3/10 = 40,3 4 4 40 + 4/10 = 40,4

На первый взгляд может показаться, что таблицы совершенно различны. Но при более пристальном рассмотрении видно, что в столбцы полной энергии в обеих таблицах входят одинаковые элементы, хотя они и расположены в разном порядке. Чтобы найти элемент табл. 10.2, соответствующий данному элементу табл. 10.1, нужно просто поменять местами топологическое и колебательное число. Иными словами, колебательные и топологические вклады взаимно дополняют друг друга при изменении радиуса циклического измерения с 10 до 1/10. Поэтому с точки зрения полных энергий струн нет различия между этими двумя размерами циклического измерения. Как обмен типов акций в точности компенсировался обменом числа акций каждой из двух компаний, так и замена радиуса 10 на 1/10 в точности компенсируется заменой топологических и колебательных чисел. Кроме того, значения начального радиуса R = 10 и его обратного значения 1/10 выбраны в данном примере лишь для простоты, и результат будет тем же для любого радиуса.{69}