Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса - Марио Ливио

102

Прекрасное описание всех попыток, которые в конце концов привели к разработке неевклидовой геометрии, можно найти в Bonola 1955.

103

Жизнь и деятельность Яноша Бойяи описаны в Gray 2004. Портрет математика я не включил в эту книгу, поскольку есть сомнения в том, что на картине, которую обычно приводят, изображен именно он. Очевидно, единственное сколько-нибудь достоверное изображение – это рельеф на фасаде Дворца культуры в городе Тыргу-Муреш.

104

Факсимиле латинского оригинала и перевод на английский Джорджа Брюса Хальстеда см. в Gray 2004.

105

Прекрасный рассказ об этом случае с точки зрения жизни и деятельности Гаусса можно найти в Dunnington 1955. Сжатое, но точное описание притязаний Лобачевского и Бойяи на приоритет дано в Kline 1972. Выдержки из переписки Гаусса по поводу неевклидовой геометрии представлены в Ewald 1996.

106

Перевод на английский этой лекции наряду с другими основополагающими работами по неевклидовым геометриям с полезнейшими примечаниями можно найти в Pesic 2007.

107

Wallis 1685. Краткое описание жизни и деятельности Валлиса можно найти в Rouse Ball 1908.

108

Краткая история вопроса дана в Cajori 1926.

109

Статья вошла в «Энциклопедию» Дидро. Цит. по Archibald 1914.

110

Прекрасную биографию с описанием научной деятельности Грассмана (на немецком языке) можно найти в Petsche 2006. Краткое изложение его открытий можно найти в O’Connor and Robertson 2005.

111

Относительно доступное, хотя все же рассчитанное на специалистов описание его трудов по линейной алгебре можно найти в Fearnley-Sander 1979 и 1982.

112

Хороший ознакомительный текст – Sommerville 1929.

113

Текст приведен в Ewald 1996.

114

Высказывания Кантора и Дедекинда приведены в Ewald 1996.

115

Первое письмо Стилтьеса Эрмиту датировано 8 ноября 1882 года. Переписка математиков состоит из 432 писем. Полностью она приведена в Hermite 1905.

116

Полный текст лекции приводится в O’Connor and Robertson 2007.

117

Парадокс деревенского цирюльника описан в самых разных книгах. См., например, Quine 1966, Rescher 2001 и Sorensen 2003.

118

Russell 1919. Здесь Рассел представляет свои идеи о логике в относительно популярном виде.

119

Интуиционистская программа Брауэра прекрасно пересказана в van Stegt 1998. Превосходное популярное описание – Barrow 1992. Дебаты между формалистами и интуиционистами популярно описаны в Hellman 2006.

120

Даммит добавляет, что «индивидуум не может коммуницировать то, что невозможно коммуницировать так, чтобы эту коммуникацию нельзя было пронаблюдать: если индивидуум ассоциирует с математическим символом или формулой какое-то ментальное содержание, то в случае, если ассоциация не лежит в области применения, которое он находит этому символу или формуле, он не может передать содержание средством этого символа или формулы, поскольку его аудитория не будет ничего знать об этой ассоциации, и у нее не будет никакой возможности узнать о ней» (Dummett 1978).

121

Необычайно простое и доступное введение в логику см. в Bennett 2004. Более специализированное, но все же блистательное – Quine 1982. Хороший обзор истории логики можно найти в 15-м издании «Encyclopaedia Britannica» (его написал Чеслав Леевский).

122

Сжатое, но глубокое описание жизни и деятельности де Моргана дано в Ewald 1996.

123

Подробная биография Буля – MacHale 1985.

124

Буль пришел к заключению, что если речь идет о вере в существование Бога, то основанные исключительно на вере нелогичные «тщетные шаги разума, ограниченного и в средствах, и в материалах познания, не более целесообразны, чем честолюбивые попытки добиться определенности, на почве естественной религии недостижимой».

125

Frege 1879. Это одна из самых важных работ в истории логики.

126

Общее изложение идей и языка Фреге см. в Resnik 1980, Demopoulos and Clark 2005, Zalta 2005 и 2007 и Boolos 1985. Прекрасный общий обзор математической логики – DeLong 1970.

127

Парадокс Рассела, его следствия и возможные выходы из положения обсуждаются, например, в Boolos 1999, Clark 2002, Sainsbury 1988 ии Irvine 2003.

128

Whitehead and Russell 1910. Популярный, но очень познавательный сжатый пересказ содержания «Оснований» см. Russell 1919.

129

Сравнение идей Рассела и Фреге см. в Beaney 2003. Обзор логицизма Рассела см. в Shapiro 2000 и Godwyn and Irvine 2003.

130

Прекрасное разъяснение можно найти в Urquhart 2003.

131

Теория типов и в самом деле уже не пользуется благосклонностью большинства математиков. Однако очень похожая конструкция постоянно находит себе применение в программировании. См., например, Mitchell 1990.

132

Описание научных достижений Цермело см. в Ewald 1996.

133

Переводы статей Цермело, Френкеля и логика Туральфа Скулема на английский язык можно найти в van Heijenoort 1967. Относительно щадящее введение в теорию множеств и систему аксиом Цермело-Френкеля см. в Devlin 1993.

134

Подробнейшее обсуждение этой аксиомы см. в Moore 1982.

135

Кантор придумал способ сравнивать мощность бесконечных множеств. В частности, он доказал, что мощность множества вещественных чисел больше, чем множества целых. Затем он сформулировал континуум-гипотезу, согласно которой не существует множества, мощность которого лежит строго между мощностями множеств целых и вещественных чисел. Когда Давид Гильберт в 1900 году составил свой знаменитый список нерешенных проблем математики, вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, стоял на первом месте. Относительно недавнее обсуждение этой проблемы можно найти в Woodin 2001a, b.

136

Прекрасное описание программы Гильберта можно найти в Sieg 1988. Превосходный обзор истории математики до наших дней и разбор противоречий между логицизмом, формализмом и интуиционизмом представлены в Shapiro 2000.

137

Эту лекцию Гильберт прочитал в Лейпциге в сентябре 1922 года. Текст опубликован, в частности, в Ewald 1996.

138

Хороший обзор формализма как учения – Detlefsen 2005.

139

Прекрасную биографию Витгенштейна написал Рэй Монк (Monk 1990).

140

Недавно составленная биография Гёделя – Goldstein 2005. Стандартной биографией считается Dawson 1997.

141

В число прекрасных книг о теоремах Гёделя, их смысле и связи с другими отраслями знания входят Hofstadter 1979, Nagel and Newman 1959 и Franzén 2005.

142

Подробное описание философских воззрений Гёделя и того, как он соотносил философские идеи с основами математики, см. в Wang 1996.

143

Очевидно, что это колоссальное упрощенчество, дозволительное лишь в популярной книге. На самом же деле серьезные попытки оправдать логицизм продолжаются по сей день. Обычно они предполагают, что многие математические истины познаваемы априорно. См., например, Wright 1997 и Tennant 1997.

144

Интересная книга о вязании морских узлов – Ashley 1944.

145

Vandermonde 1771. Превосходный обзор истории теории узлов можно найти в Przytycki 1992. Введение в саму теорию, изложенное живо и весело, представлено в Adams 1994. Популярные книги по этой теме – Neuwirth 1979, Peterson 1988 и Menasco and Rudolph 1995.

146

Прекрасный обзор представлен в Sossinsky 2002 и Atiyah 1990.

147

Tait 1898, Sossinsky 2002. Краткую и отлично написанную биографию Тэта можно найти в O’Connor and Robertson 2003.

148

Сугубо научное, но все же элементарное введение в топологию – Messer and Straffin 2006.

149

В частности, математик Луис Кауфман показал, что есть связь между многочленом Джонса и статистической физикой. Kauffman 2001 – превосходная, однако сугубо научная книга о применении многочлена Джонса в физике.

150

О теории узлов и роли ферментов прекрасно рассказано в Summers 1995. См. также Wasserman and Cozzarelli 1986.

151

Великолепное популярное введение в теорию струн и описание всех ее сильных и слабых сторон – Greene 1999, Randall 2005, Krauss 2005 и Smolin 2006. Научное введение в теорию струн – Zweibach 2004.

152

Atiyah 1989; более подробно – Atiyah 1990.

153

Основные идеи общей и специальной теории относительности описаны во множестве работ. Перечислю лишь некоторые, особенно мне полюбившиеся: Davies 2001, Deutsch 1997, Ferris 1997, Gott 2001, Greene 2004, Hawking and Penrose 1996, Kaku 2004, Penrose 2004, Rees 1997 и Smolin 2001. Недавно вышла чудесная книга с превосходным описанием и Эйнштейна как человека, и его идей – Isaacson 2007. Однако великолепные книги об Эйнштейне и его мировоззрении, разумеется, публиковались и раньше: Bodanis 2000, Lightman 1993, Overbye 2000 и Pais 1982. Прекрасное собрание статей Эйнштейна – Hawking 2007.