Великая Теорема Ферма - Сингх Саймон

Let p be an odd prime. Let Σ be a finite set of primes including p and let QΣ be the maximal extension of Q unramified outside this set and ∞. Throughout we fix an embedding of Q, and so also of QΣ, in C. We will also fix a choice of decomposition group Dq for all primes q in Z. Suppose that k is a finite field of characteristic p and that

(1.1)

ρ: Gal(QΣ/Q) → GL2(k)

is an irreducible representation. In contrast to the introduction we will assume in the rest of the paper that ρ comes with its field of definition k. Suppose further that det ρ0 is odd. In particular this implies that the smallest field of definition for ρ is given by the field k0 generated by the traces but we will not assume that k = k. It also implies that ρ0 is absolutely irreducible. We consider the deformations [ρ] to GL2(A) of ρ in the sense of Mazur [Ma1]. Thus if W(k) is the ring of Witt vectors of k, A is to be a complete Noetherian local W(k)-algebra with residue field k and maximal ideal m, and a deformation [ρ] is just a strict equivalence class of homomorphisms ρ: Gal(QΣ/Q) → GL2(A) such that ρ mod m = ρ, two such homomorphisms being called strictly equivalent if one can be brought to the other by conjugation by an element of ker: GL2(A) → GL2(k). We often simply write ρ instead of [ρ] for the equivalence class.

В следующем месяце Уайлс, наконец, смог исполнить обещание, которое ему не удалось исполнить в прошлом году. «Приближался день рождения Нады, и я вспомнил, что в прошлый раз я не смог подарить ей то, что она хотела получить в подарок. На этот раз, через полминуты после начала праздничного обеда по случаю ее дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства. Думаю, что этому подарку она была рада больше, чем любому другому, который я когда-либо дарил ей».

Дата: 25 окт 1994 11:04:11

Тема: Последние новости о великой теореме Ферма

Этим утром поступили две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлса и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлса.

Первая из них (большая) содержит среди прочего доказательство великой теоремы Ферма, использующее в одном решающем шаге вторую (малую).

Как известно большинству из вас, в доказательстве, изложенном в кембриджских докладах Уайлса, оказался серьезный пробел, а именно: построение эйлеровской системы. После безуспешных попыток исправить эту конструкцию, Уайлс обратился к другим подходам, которые он использовал раньше, но от которых отказался в пользу идеи эйлеровской системы. Уайлсу удалось восполнить пробел в своем доказательстве в предположении, что некоторые алгебры Гекке представляют собой локально полные пересечения. Эта и остальные идеи, бегло описанные в кембриджских докладах Уайлса, изложены в первой рукописи. В совместной работе Тейлор и Уайлс (вторая статья) установили необходимое свойство алгебр Гекке. Общий ход доказательства аналогичен намеченному Уайлсом в его кембриджских докладах. Новый подход гораздо проще и короче первоначального, поскольку изъята система Эйлера. (После изучения обеих работ Фалтингсу удалось еще более упростить эту часть доказательства.) Варианты представленных рукописей попали в руки небольшого числа людей (в некоторых случаях) в течение нескольких недель. И хотя разумно сохранять осторожность, основания для оптимизма заведомо имеются.

Карл Рубин

Университет штата Огайо

Глава 8. Великое Объединение в математике

Был малый не промах, а стал, как чума.

Виною всему — теорема Ферма:

Не может никак он ее доказать,

Уайлса пример не дает ему спать.

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи общим объемом в 130 страниц были подвергнуты самому тщательному анализу, которому когда-либо подвергались математические рукописи за всю историю человечества, и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

Уайлс снова оказался на первой полосе «New York Times», но заголовок «Математик утверждает, что классическая проблема решена» оказался в тени заголовка другой статьи: «Новые данные о возрасте Вселенной ставят перед учеными новую космическую проблему». И хотя журналисты на этот раз проявили по отношению к Великой теореме Ферма несколько меньший энтузиазм, математики по достоинству оценили истинное значение полученного доказательства. «Для математиков окончательный вариант доказательства эквивалентен по своему значению расщеплению атома или открытию структуры ДНК, — заявил Джон Коутс. — Доказательство Великой теоремы Ферма представляет собой великий триумф человеческого интеллекта, и не следует упускать из виду, что оно единым махом совершило переворот в теории чисел. Для меня очарование и красота работы Эндрю заключается в том, что она стала гигантским шагом вперед в развитии теории алгебраических чисел».

За восемь лет упорнейшего труда Уайлс, по существу, свел воедино все достижения теории чисел XX века, выстроив из них одно сверхмощное доказательство. Преследуя свою главную цель, Уайлс попутно создавал совершенно новые доказательства и использовал их в немыслимых ранее сочетаниях с традиционными методами.

Этим Уайлс открыл новые направления для атак на множество других проблем. По словам Кена Рибета, доказательство Уайлса представляет собой идеальный синтез современной математики и служит источником вдохновения на будущее: «Я думаю, что если бы вы оказались на необитаемом острове и захватили с собой только рукопись с доказательством Уайлса, то у вас было бы предостаточно пищи для размышлений. Перед вами предстали бы все течения современной мысли в области теории чисел. На одной странице вы встретите краткое упоминание о фундаментальной теореме Делиня, на другой найдете несколько неожиданную ссылку на теорему Хеллегуарка — и все это вводится в игру и используется с тем, чтобы через мгновенье уступить место следующей идее».

Большинство журналистов превозносили на все лады найденное Уайлсом доказательство Великой теоремы Ферма, некоторые из них комментировали нераздельно связанное с ним доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. Лишь немногие удосужились упомянуть о вкладе Ютаки Таниямы и Горо Шимуры, двух японских математиков, которые еще в 50-е годы XX века посеяли семена, предопределившие успех Уайлса. Хотя Танияма умер более тридцати лет назад, его коллега — Горо Шимура — стал свидетелем доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры. Когда его спросили о его впечатлении от доказательства, он мягко улыбнулся и сдержанно, с достоинством ответил: «Я же говорил вам».

Подобно многим своим коллегам, Кен Рибет считал, что доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры совершило переворот в математике: «Важным психологическим отзвуком доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры явилось то, что теперь математики стали смело браться за решение проблем, которые прежде казались им неприступными. Ныне картина полностью изменилась. Теперь известно, что все эллиптические кривые модулярны, и, когда вы доказываете какую-нибудь теорему для эллиптических кривых, вы тем самым доказываете теорему относительно модулярных форм, и наоборот. У вас появляется иное видение происходящего в математике, и мысль о том, что вам придется работать с модулярными формами пугает вас меньше, поскольку вы, по существу, работаете с эллиптическими кривыми. Когда прежде приходилось писать статью об эллиптических кривых, мы вместо того, чтобы открыто признать, что нам ничего не известно, делали предположение: "Пусть гипотеза Таниямы-Шимуры доказана", — и смотрели, какие следствия проистекают из этого. Теперь нам достоверно известно, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна, и мы смело можем утверждать, что из этого следует. Нужно ли говорить, что это гораздо приятнее».