φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Что означает (согласно определению Евклида), что точка C делит отрезок AB в золотом сечении. Поскольку AD = AB и DB = AC, получаем также, что AD/DB = φ.

Приложение 5

Квадратные уравнения – это уравнения, имеющие вид

ax2 + bx+ c= 0,

где a, b, c – произвольные числа. Например, в уравнении 2x2 + 3x+ 1 = 0 имеем a = 2, b = 3, c = 1.

Общая формула для поиска двух корней уравнения:

В вышеприведенном примере

В уравнении, описывающем золотое сечение,

x2 – x – 1 = 0,

a = 1, b = –1, c = –1, следовательно, корни:

Приложение 6

Задачу о дележе наследства можно решить следующим образом. Обозначим все наследство как E, а долю каждого из сыновей в безантах – как x (по условию, все они делят наследство поровну).

Первый сын получил

Второй сын получил

Приравниваем их доли:

Упрощаем:

 x/7  = 6/7

x= 6.

Следовательно, каждому из сыновей досталось по 6 безантов.

Подставив эту величину в первое равенство, получаем:

Сумма наследства составила 36 безантов. Следовательно, количество сыновей 36/6 = 6.

А вот как выглядит решение Фибоначчи.

Сумма наследства должна представлять собой такое число, чтобы если прибавить к нему 1 раз по 6, одно делилось бы на 1 плюс 6, то есть на 7, а если прибавить к нему 2 раза по 6, оно делилось бы на 2 плюс 6, то есть на 8, если же прибавить к нему 3 раза по 6, оно делилось бы на 3 плюс 6, то есть на 9, и т. д. Такое число – 36. 1/7 от (36 – 1/7) – это 35/7, плюс 1 – это 42/7, или 6, и это и есть сумма, которую получил каждый из сыновей; общая сумма наследства, поделенная на долю каждого из сыновей, дает нам число сыновей, то есть 36/6 равно 6.

Приложение 7

Отношение между количеством субобъектов n, коэффициентом сокращения длины f и числом измерений D равно

Если положительное число А записывается в виде А = 10L, то L мы называем логарифмом (по основанию 10) числа А и записываем это так: L = log A. Иначе говоря, равенства А = 10L и L = log A тождественны. Правила логарифмов таковы:

1. Логарифм произведения есть сумма логарифмов:

log (A × B) = log A+ log B.

2. Логарифм отношения есть разность логарифмов

log ( A/B ) = log A – log B.

3. Логарифм степени числа – это степень, умноженная на логарифм числа:

log Am = m× log A.

Поскольку 100 = 1, по определению логарифма log 1 = 0. Поскольку 101 = 10, 102 = 100 и так далее, получаем, что log 10 = 1, log 100 = 2 и т. д. Следовательно, логарифм любого числа от 1 до 10 – это число от 0 до 1, логарифм любого числа от 10 до 100 – это число от 1 до 2 и т. д.

Если мы возьмем логарифм (по основанию 10) обеих частей вышеприведенного равенства (описывающего отношения между n, f и D), то получим

Если теперь поделить обе части на log f, мы получим

Скажем, в случае снежинки Коха каждая кривая содержит четыре «подкривые» в одну треть длины, поэтому n = 4, f = 1/3, и получаем

Приложение 8

Рассмотрим рис. 116, а, и увидим, что условие соприкосновения двух веток состоит в простом требовании, чтобы сумма всех горизонтальных длин постоянно уменьшающихся веток с длинами начиная от f 3 была равна горизонтальной составляющей большой ветки длиной f. Все горизонтальные составляющие – это общая длина, умноженная на косинус угла, величиной 30 градусов. Поэтому получаем

f× cos 30° = f3 × cos 30° + f4 × cos 30° + f5 × cos 30° + …

Поделим это выражение на cos 30° – и получим

f= f3 + f4 + f 5 + f6 + …

Сумма правой части – это сумма бесконечной геометрической прогрессии, то есть каждый ее член равен предыдущему, умноженному на константу, в которой первый член – это f 3, а отношение двух последовательных членов равно f. В целом сумма S бесконечной геометрической прогрессии с первым членом а и отношением последовательных членов q равна

Например, сумма прогрессии

где a = 1 и q = 1/2, равна

В нашем случае из вышеприведенного уравнения следует

Делим обе части на f и получаем

Умножаем на (1–f), сокращаем и получаем квадратное уравнение

f2 + f – 1 = 0,

положительный корень которого равен

То есть 1/φ.

Приложение 9

Согласно закону Бенфорда, вероятность P, что цифра D появится на первом месте, составляет (логарифм по основанию 10)

P= log (1 + 1/D).

Следовательно, для D = 1

P= log (1 + 1) = log 2 = 0,30.

Для D = 2

P= log (1 + 1/2) = log 1,5 = 0,176,

И так далее. Для D = 9,

P= log (1 + 1/9) = log (10/9) = 0,046.

Согласно обобщенной формулировке закона вероятность того, что первые три цифры будут, к примеру, 1, 5 и 8, равна

P= log (1 + 1/158) = 0,0027.

Приложение 10

Доказательство Евклида, что существует бесконечное множество простых чисел, основано на методе reductio ad absurdum. Сначала Евклид предполагает, что верно противоположное: простых чисел существует лишь ограниченное множество. Однако, если это правда, одно из них должно быть самым большим простым числом. Обозначим самое большое простое число как P. Затем Евклид выводит новое простое число по следующему алгоритму: он перемножает все простые числа, начиная с 2 и до (включая) Р, и прибавляет к произведению единицу. Получается новое число

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × … × P+ 1.

Согласно первоначальному предположению, это должно быть не простое, а составное число, поскольку оно, очевидно, больше Р, а мы решили, что Р – самое большое простое число. Следовательно, это число должно делиться по крайней мере на одно из существующих простых чисел. Однако из его конструкции следует, что если мы разделим его на любое простое число вплоть до (и включая) Р, получится остаток 1. А следовательно, если бы это число и в самом деле составное, оно должно делиться на какое-то простое число больше Р. Однако это предположение противоречит первоначальному утверждению, что Р – самое большое простое число, и мы, таким образом, доказали, что простых чисел бесконечно много.

Рекомендуемая литература

Только пустые, ограниченные люди не судят по внешности. Подлинная тайна жизни заключена в зримом, а не в сокровенном…

Большинство книг и статей из этого списка – популярные, а не специальные. Те немногие, которые можно отнести к специальной литературе, отобраны за какие-то особые качества. Кроме того, я отобрал несколько веб-сайтов, где можно найти интересный материал.

Ackermann, F. “The Golden Section”, Mathematical Monthly, 2 (1895): 260–264.

Dunlap, R. A. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. Singapore: World Scientific, 1997.

Fowler, D. H. “A Generalization of the Golden Section”, Fibonacci Quarterly, 20 (1982): 146–158.

Gardner, M. The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. Chicago: University of Chicago Press, 1987.