Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Золотой угол объясняет, почему на стебле растения, как правило, число листьев и число оборотов, после которого лист прорастает более или менее точно над первым, дается одним из чисел Фибоначчи. Например, у роз 5 листьев на каждые 2 оборота, у астр — 8 листьев на каждые 3 оборота, а миндальные деревья имеют 13 листьев на каждые 5 оборотов. Числа Фибоначчи возникают здесь потому, что они дают наилучшее приближение к золотому углу среди углов, выраженных в виде отношения целых чисел. Если растение выпускает 8 листьев на каждые 3 оборота, то каждый следующий лист прорастает через 3/8 оборота, что соответствует 135 градусам — очень хорошее приближение к золотому углу.

Но самым поразительным образом уникальные свойства золотого угла проявляются в расположении семян. Представим себе, что семена сначала возникают в центре цветка, и далее ряды следуют, заворачиваясь под фиксированным углом. Новые семена выталкивают старые все дальше и дальше от центра. На рисунке показаны различные расположения семян, возникающие при различных величинах этого угла: немного меньше золотого, в точности равный ему и чуть-чуть больше.

Неожиданным здесь оказывается то, сколь малое изменение угла влечет колоссальное изменение в расположении семян. Если угол в точности равен золотому, соцветие подсолнуха представляет собой завораживающий узор из взаимопроникающих логарифмических спиралей. Это самое компактное из всех возможных расположений. Природа выбирает золотой угол из-за этой компактности — семена располагаются очень тесно друг к другу, и весь организм от этого становится сильнее.

В конце XIX столетия немецкий философ и поэт Адольф Цейзинг (1810–1876) самым настойчивым образом продвигал идею о том, что золотая пропорция представляет собой воплощение красоты, — он писал, что золотое сечение — это универсальный закон, «который, как высший духовный идеал, пронизывает все структуры, формы и пропорции, будь они космические или индивидуальные, органические или неорганические, акустические или оптические, и при этом он находит свое высшее воплощение в человеке». Цейзинг был первым, кто заявил, что фасад Парфенона имеет форму золотого прямоугольника. В действительности нет документальных свидетельств, что те, кто отвечал за сей архитектурный проект (а среди них был скульптор Фидий), использовали золотое сечение. Более того, если приглядеться, то золотой прямоугольник не вполне точно подходит к фасаду — края цоколя выступают наружу. И тем не менее именно имя строителя Парфенона Фидия около 1909 года побудило американского математика Марка Барра обозначить золотое сечение буквой φ.

Несмотря на эксцентричный стиль работ Цейзинга, его на полном серьезе воспринял Густав Фехнер (1801–1887) — известный немецкий ученый, один из основателей психофизиологии. Желая выяснить, действительно ли имеются какие-либо эмпирические свидетельства в пользу того, что человеческая мысль воспринимает золотой прямоугольник как более совершенный по сравнению со всеми другими видами прямоугольников, Фехнер изобрел тест, в котором испытуемым показывали ряд различных прямоугольников и просили указать на те, которые им больше понравились.

Результаты Фехнера, казалось, подтвердили идеи Цейзинга. Чаще всего выбирали прямоугольник, наиболее близкий к золотому, — его предпочитали больше трети испытуемых. И хотя методы Фехнера были достаточно грубыми, его «прямоугольные» тесты открыли новое направление в науке — экспериментальную психологию искусства, а заодно и более узкую дисциплину — «эстетику прямоугольников». Многие физиологи провели аналогичные исследования на тему привлекательности прямоугольников, что на самом деле не столь абсурдно, сколь это звучит. Ведь если существует «самый желанный» прямоугольник, то именно эту форму должны использовать дизайнеры при создании коммерческой продукции. И в самом деле, кредитные карты, пачки сигарет и книги часто приближаются по пропорциям к золотому прямоугольнику. К несчастью для фанатов числа фи, самые недавние и подробные исследования, проведенные группой Криса Макмануса из Лондонского университетского колледжа показывают, что Фехнер был не прав. В статье, опубликованной в 2008 году, говорится, что «более столетия экспериментальных исследований показывают, что золотое сечение в действительности играет незначительную роль при выборе наиболее предпочтительных форм прямоугольников». И тем не менее авторы этой статьи не считают, что подобные тесты — пустая трата времени. Вовсе нет. Они утверждают, что в эстетическом восприятии прямоугольников разными людьми важную роль играют их индивидуальные различия, которые несомненно заслуживают дальнейших исследований.

Гэри Майзнер — 53-летний бизнес-консультант из Теннесси. Он называет себя Фи-Парнем и продает через свой сайт товары сувенирного толка, включая фи-футболки и фи-кружки. Однако из всего ассортимента лучше всего продается фи-матрица — программный продукт, который создает на экране вашего компьютера сетку для проверки изображений на предмет их близости к золотому сечению. Большинство пользователей используют ее для дизайна столовых приборов, мебели и интерьеров. Некоторые применяют ее для финансовых спекуляций, накладывая сетку на графики биржевых показателей и используя число фи для предсказания будущих трендов.

— Один парень с Карибов использовал мою матрицу для торговли нефтью, а один китаец — для спекуляции на курсах валют, — рассказывает Майзнер.

Золотое сечение привлекло Майзнера по причине его духовных устремлений — по словам этого Фи-Парня, оно помогло ему понять Вселенную. Но даже он полагает, что его коллеги по цеху иногда заходят слишком далеко. Например, его совершенно не убеждают трейдеры.

— Когда оглядываешься назад в прошлое, не так уж сложно найти в истории рыночных отношений такие, что подходили бы под число фи, — говорит он. — Реальная же проблема состоит в том, что оглядываться назад — это далеко не то же самое, что смотреть через лобовое стекло.

Благодаря своему веб-сайту Майзнер стал главным авторитетом для всех фанатов числа фи. Месяцем раньше он получил имейл от одного безработного, который считает, что единственный способ попасть на собеседование по устройству на работу — это оформить свое резюме согласно пропорциям золотого сечения. Чувствуя, что человек заблуждается, Майзнер все же решил ему помочь. Он подсказал ему несколько приемов фи-дизайна, но намекнул, что эффективней было бы сосредоточиться на более традиционных методах поиска работы, например, посмотреть сайты вакансий.

— И вот сегодня утром я получил от него письмо. — Майзнер явно удивлен. — Этот чудак пишет, что получил приглашение на собеседование! И он абсолютно уверен, что это все из-за нового дизайна резюме!

Вернувшись в Лондон, я рассказал Эдди Левину историю о золотом резюме в качестве примера чрезмерной экстравагантности. Левин, однако, не нашел эту историю забавной. Он тоже считает, что резюме, выполненное в фи-пропорции, привлекательней обычного.

— Оно будет красивее выглядеть, поэтому тот, кто его прочтет, решит, что оно привлекательнее других.

После 30 лет изучения золотого сечения Левин убежден, что везде, где присутствует красота, найдется число фи.

— Во всякой картине, которая нравится людям, доминирует золотая пропорция, — говорит он.

Левин отдает себе отчет в том, что далеко не все разделяют его точку зрения, хотя бы в силу того, что она предписывает наличие формулы для такого понятия, как красота, однако он гарантирует, что сможет найти число фи в любом шедевре.

Инстинктивно я весьма скептически воспринимаю одержимость Левина числом фи. Во-первых, я не уверен, что его калибр достаточно прецизионен, чтобы с нужной точностью измерить отношение 1,618. Обнаружить «примерное число фи» в пропорциях картины или здания не так уж сложно, особенно если выбирать, какие именно части измерять. А еще, поскольку отношения соседних членов в последовательности Фибоначчи дают хорошее приближение к 1,618, всякий раз при появлении структур 5 × 3, 8 × 5, 13 × 8 и т. д. будет видеться золотой прямоугольник. Нечего удивляться, что золотая пропорция оказывается столь распространенной.