Большая Советская Энциклопедия (СУ) - БСЭ БСЭ
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
А. Н. Кабанов.
Суммирование
Сумми'рование расходящихся рядов и интегралов, построение обобщённой суммы ряда (соответственно значения интеграла ), не имеющего обычной суммы (соответственно значения). Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, то есть найти для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую некоторыми из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла). Обычно требуется, чтобы из того, что ряд суммируется к S, а ряд суммируется к Т, следовало, что ряд суммируется к lS + lT, а ряд суммируется к S — а о . Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы С., то есть методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. В большинстве методов С. расходящийся ряд рассматривается в известном смысле как предел сходящегося ряда. А именно, каждый член ряда
(1)
умножается на некоторый множитель ln (t) так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд
(2)
с суммой d(t). При этом множители ln (t) выбираются так, чтобы при каждом фиксированном n предел ln (t) при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом d(t) имеет предел, то его называют обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному выбору множителей (данному методу С.). Например, если положить ln (t) = 1 При n £ t и ln (t) = 0 при n > t и брать t ® ¥, то получится обычное понятие суммы ряда; при ln (t ) = tn для t < 1 и t ® 1 получается метод Абеля — Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда на ln (t), а соответствующие изменения частичных сумм ряда. Например, в методе средних арифметических Чезаро полагают
,
где
, .
Этот метод соответствует выбору ln (m ) = (m - n + 1)/(m + 1) при n £ m и ln (m ) = 0 при n > m . Если положить
, ,
, ,
и если существует , то говорят, что ряд суммируется к А методом Чезаро k -го порядка. С ростом k возрастает сила метода Чезаро, то есть расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля — Пуассона и притом к той же сумме. Например, ряд 1— 1 + 1 —... + (—1) n-1 +... суммируется методом Абеля — Пуассона к значению 1 /2 , так как
, .
Метод Чезаро даёт то же значение, так как
s 2n = 1, s 2n+l = 0, s2n = (n + 1)/(2n + 1),
s2n+1 = 1 /2 , .
Методы Чезаро и Абеля — Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой функции методом Чезаро первого порядка, а тем самым и методом Абеля — Пуассона. В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод С., частными случаями которого являются все методы Чезаро. Пусть pn ³ 0, p0 = 0, ; обобщённой суммой ряда, по Вороному, называется предел
.
Метод Вороного регулярен, если
.
В 1911 немецкий математик О. Теплиц нашёл необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять треугольная матрица ||атn || (где атn = 0 при n > m ) для того, чтобы метод С., определяемый формулой , был регулярен. Польский математик Х. Штейнхауз обобщил эти условия на случай квадратных матриц.
В теории аналитических функций важную роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный метод С. тригонометрических рядов был предложен С. Н. Бернштейном и немецким математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения сходящихся интерполяционных процессов.
Теория С. расходящихся интегралов аналогична теории С. расходящихся рядов. Например, если интеграл
расходится и существует предел
,
то говорят, что первый интеграл суммируем к А методом Чезаро порядка l.
Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1—2, М., 1965; Титчмарт Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.— Л., 1948; Вари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.
Суммирования блок
Сумми'рования блок , суммирующее устройство, аналоговое вычислительное устройство, на выходе которого образуется величина, пропорциональная сумме входных величин (сигналов). Существуют механические С. б. — преимущественно для суммирования линейных (логарифмическая линейка ) и угловых (дифференциальный механизм ) перемещений; электромеханические С. б., в которых входные и выходные величины представляют собой механические перемещения, а суммирование выполняется с использованием законов электрических цепей (в частности, Кирхгофа правил ); электрические С. б., в которых суммируются токи или напряжения. Наибольшее распространение в электронных аналоговых вычислительных машинах получили С. б. с суммированием по току, которые для повышения точности, увеличения мощности и амплитуды выходного сигнала дополняются операционными усилителями (см. Решающий усилитель ).
Суммируемая функция
Сумми'руемая фу'нкция, функция, к которой приложимо введённое А. Лебегом понятие интеграла , то есть для которой интеграл Лебега, взятый по данному множеству, конечен. Функции эти, называемые также интегрируемыми по Лебегу, необходимо должны быть измеримыми (по Лебегу). Функция с суммируемым квадратом — измеримая функция, квадрат которой есть С. ф.
Суммовой тон
Суммово'й тон, комбинационный тон с частотой w1 + w2 , возникающий в нелинейной акустической системе при воздействии на неё двух звуковых колебаний с частотами w1 и w2 (см. также Комбинационные колебания ).
Сумпитан
Сумпи'та'н (малайско-индонез.), стрелометательная трубка (длина до 2,5 м, диаметр 2—3 см ) из дерева или бамбука; распространён у ряда племён и народностей Индонезии и Малайзии для охоты на мелкую дичь. Стрелу (20—30 см ), обычно отравленную растительным ядом, выдувают из С. В прошлом — оружие в межплеменных войнах. См. также Духовое ружье .
Сумсар
Сумса'р, посёлок городского типа в Ала-Букинском районе Ошской области Киргизской ССР. Расположен в предгорьях Чаткальского хребта, на автодороге, в 60 км к С.-З. от ж.-д. станции Наманган. 6,1 тыс. жителей (1975). Добыча полиметаллических руд. Филиал Ошского объединения народных художественных промыслов.
Сумская область
Сумска'я о'бласть, в составе УССР. Образована 10 января 1939. Площадь 23,8 тысяч км 2 . Население 1452 тыс. чел. (1975). Делится на 18 районов, имеет 15 городов и 20 посёлков городского типа. Центр — г. Сумы.
С. о. награждена орденом Ленина (22 июня 1967).
Природа. С. о. расположена в северо-восточной части УССР. Большая часть её находится в пределах Приднепровской низменности, крайняя северная часть — в пределах Полесской низменности, на В. и С.-В. — отроги Среднерусской возвышенности. Поверхность представляет собой волнистую равнину, расчленённую широкими долинами многочисленных рек, оврагами и балками. Максимальная высота 226 м. Климат умеренно континентальный. Зима прохладная, лето умеренно жаркое. Средняя температура января от -7,9 °С на С. до -7,1°С на Ю.-З., июля от 18,4 °С на С. до 19,9 °С на Ю.- В. Осадков 550—600 мм на С. и 450 мм на Ю. в год (максимум летом). Продолжительность вегетационного периода (с температурой выше 10 °С) 144—161 сут. Реки принадлежат бассейну Днепра и являются в основном его левыми притоками. Наиболее значительные из них — Десна с Сеймом, Сула, Псёл, Ворскла. В долинах рек многочисленны озёра-старицы и болота; имеется много искусственных прудов. В южной лесостепной части преобладают чернозёмные почвы (малогумусные типичные легко- и среднесуглинистые и оподзоленные чернозёмы), в северной полесской — дерново-подзолистые. Под лесами и кустарниками занято 17% территории, в северных районах преобладают смешанные леса (сосна, берёза, дуб), в центральном и южном районах — островные леса (преимущественно из липы, клёна, ясеня; встречаются дубовые рощи). За исключением участка целинной степи «Михайловская целина» (который входит в Украинский степной заповедник), все степные пространства распаханы. Животный мир разнообразен. На С. распространены представители лесной фауны — волк, лось, горностай, белка, тетерев, глухарь, рябчик, в лесостепных районах — лисица, заяц-русак, обыкновенный хомяк, серая куропатка, полевой и степной жаворонки и др.
