Катастрофы в природе и обществе - Абрам Фет

Дальше мы укажем более сложные процедуры принятия решений, которые могут иметь практическое значение. Ясно, что от принятых правил зависит определение "представительного правления", то есть принятый тип "демократии". Можно задать эти правила и таким образом, что лишь небольшая часть избирателей сможет влиять на результаты выборов – что и происходит сейчас в России. Возникает вопрос, какие избирательные правила надо все еще считать "демократическими". Формально в "репертуар" избирательных процедур входит и следующая, отнюдь не нарочно придуманная, а самая известная в России:

"Правило диктатора". Указывается один избиратель, именуемый "первым". Он определяет порядок кандидатов в списке и, тем самым, состав парламента. Остальные избиратели не имеют никаких обязанностей. Название этого правила принадлежит американскому экономисту Эрроу, с именем которого мы еще встретимся.

Конечно, такое правило выборов противоречит нашему интуитивному представлению о "народовластии". Попытаемся теперь сформулировать некоторые общие требования, необходимые (как можно полагать) для того, чтобы избирательную систему можно было считать "демократической". По аналогии с математической терминологией, мы назовем эти требования аксиомами.

1. Аксиома полноты. Для любых двух кандидатов a, b правило голосования должно приводить к одному из трех результатов: либо a предшествует b (в установленном этим правилом порядке), либо b предшествует a, либо a и b занимают одинаковое место.

Смысл этой аксиомы в том, что правило голосования всегда применимо и для любых двух кандидатов всегда дает ответ, хотя может случиться, что они не получают предпочтения друг перед другом. В таком случае правило недостаточно (как это уже было в предыдущих примерах); но ведь мы формулируем теперь только необходимые требования к избирательным процедурам.

2. Аксиома транзитивности. Если по правилу голосования кандидат a предшествует кандидату b, а b предшествует c, то а предшествует с.

"Транзитивность" означает "возможность перехода". Ясно, что всякое разумное правило упорядочения должно удовлетворять предыдущему требованию, необходимому во всякой ранговой структуре.

3. Аксиома единогласия. Если по правилу голосования оказывается, что каждый избиратель предпочитает кандидата a кандидату b, то по этому правилу а предшествует b.

Иначе говоря, единогласная воля избирателей должна уважаться.

4. Аксиома независимости. Относительный порядок любых двух кандидатов а и b, определяемый правилом голосования, зависит только от индивидуальных предпочтений избирателей, но не от порядкового положения какого-либо третьего кандидата с. Это значит, что "превосходство" а над b, устанавливаемое по этому правилу, не зависит от их возможных связей с кем-нибудь другим. Таким образом, суждение избирателей, резюмируемое правилом голосования, относится к конкретным кандидатам, известным избирателям, а не, например, к их партийной принадлежности или личным связям. Эта аксиома, по-видимому, описывает уже достаточно зрелую и сознательную демократию.

Оказывается, что все эти аксиомы вместе предъявляют уже слишком много требований к человеческому роду! А именно, К. Эрроу доказал следующую теорему:

Единственное правило голосования, удовлетворяющее всем аксиомам 1 – 4, есть "правило диктатора".

Очевидно, что это правило в самом деле удовлетворяет аксиомам 1 – 3: диктатор устанавливает очередность, как хочет, и не приходит при этом в противоречие с этими аксиомами, если только не запутается в нумерации. Что касается аксиомы 4, то в этом случае индивидуальные предпочтения избирателей сводятся к предпочтениям диктатора, и больше ни от чего не зависят – ведь он единственный избиратель. Эрроу доказал, что никакое другое избирательное правило не удовлетворяет формулированным выше аксиомам. [Несложное доказательство этой теоремы, с рядом примеров, можно прочесть в статье В.Пахомова (журнал "Квант", NN 9 – 10 за 1992 год)].

Можно истолковать этот вывод таким образом, что совершенная демократия невозможна – ведь и все человеческие учреждения в той или иной мере несовершенны, и не следует предъявлять к ним слишком общие и абстрактные требования. Поскольку полная независимость суждений (аксиома 4) явно недостижима, всегда будут группы людей, связанные общими взглядами, и суждение человека будет в некоторой степени зависеть от группы, к которой он принадлежит, – по рождению, воспитанию или его собственному выбору. Но, конечно, такие группы не обязательно будут похожи на нынешние политические партии.

Метод статистической выборки

Выборы представляют собой случайное событие, которое может быть описано с помощью теории вероятностей. Начнем с простейшего случая, когда выбирают президента из двух кандидатов, A и B. Каждый избиратель может проголосовать за A или против A (либо высказавшись за его противника B, либо не явившись на выборы, что мы будем также толковать как голосование "против A"). Можно ли говорить о вероятности того, что взятый наугад (то есть выбранный по жребию) избиратель проголосует за A? Мы примем частотное определение вероятности: будем говорить, что голосование за A имеет вероятность p, если в достаточно длинной серии повторений этого голосования отношение числа положительных голосований M к числу всех голосований в серии N приблизительно равно p, причем приближение тем лучше, чем больше длина серии N. Конечно, при этом случайный избиратель каждый раз выбирается заново, посредством нового жребия. Если испытания такого рода дают устойчивое значение частоты p = M/N, то можно допустить, что вероятность голосования за кандидата A существует и равна p. Разумеется, при этом надо заботиться, чтобы выбранная группа из N человек (входящих в серию) была действительно случайна – иначе законы теории вероятностей неприменимы. Например, в этой группе – именуемой статистической выборкой – должно быть примерно одинаковое число мужчин и женщин, как и во всей популяции; в группе не должна преобладать какая-нибудь профессия, какой-нибудь уровень образования, и т.д. В общем, правильная статистическая выборка должна быть возможно более точной моделью популяции. Нахождение таких выборок – особое искусство, которому учатся статистики, а правильность выборки можно проверить методами теории вероятностей.

Теория вероятностей позволяет также вычислить, насколько велика должна быть выборка из N человек, чтобы полученная из нее частота M/N достаточно мало отличалась от искомой вероятности p. Предположим, что вероятность голосования за A в самом деле известна: например, пусть выборы уже прошли, так что можно принять за p долю всех избирателей, проголосовавших за A. Посмотрим, что можно сказать о возможных результатах выборов по выборке из N избирателей. Число M членов этой выборки, высказавшихся за кандидата A, может быть от 0 до N, и для каждого значения M существует вероятность того, что ровно M человек выскажется за A; обозначим эту вероятность через p(M). Если известна вероятность голосования за кандидата A (равная p), то вероятность M положительных ответов при нашей выборке из N человек, как можно показать, равна

где – так называемые биномиальные коэффициенты, равные

здесь N! – произведение всех целых чисел от 1 до N, именуемое факториалом числа N, и аналогично M! = 1 x 2 x 3 x ... x M, (N-M)! = 1 x 2 x 2 x...x(N-M) . Например, если в группе 50 человек (N = 50), то при p = 2/3 вероятность того, что за A выскажутся 30 человек, равна

Доказательство формулы для p(M) мы не приводим: его можно найти в любом учебнике теории вероятностей. Заметим, что прямое вычисление биномиальных коэффициентов при больших значениях M и N довольно трудно и обычно заменяется методами высшей математики. Но нас интересует здесь только общий характер зависимости p(M). Эта зависимость изображена на рисунке 1, для случая N = 50, p = 2/3. Вдоль оси абсцисс отмечены точки M = 0, 1, 2,..., 49, 50, а значение изображенной функции – очень точно приближающей p(M) – равно ординате графика с абсциссой M.

Рис.1

Колоколообразная кривая рисунка 1 называется гауссовой кривой и имеет важное значение в естествознании и статистике. Наибольшее значение p(M) – около 0,12 – получается при M = 33, то есть при ближайшем целом к 2/3 x N; это значит, что вероятнее всего исход опроса, при котором за A выскажется pN членов выборочной группы. Из рисунка 1 видно, что, например, при M<25 общая вероятность того, что за A выскажется не больше половины группы, равная

p(0) + p(1) + p(2) + ... + p(25),

оказывается ничтожно малой. Точный расчет показывает, что эта сумма меньше 0,005, т.е. вероятность такого результата меньше 0,5%.

Таковы должны быть вероятности p(M), если в самом деле вероятность p = 2/3, то есть если 2/3 всех избирателей в самом деле проголосовали за кандидата A. Но, предположим, в результате опроса членов выборки из 50 человек обнаружилось, что среди них числа сторонников и противников A примерно равны: пусть, например, оказалось, что M = 24. Вероятность такого результата в предположении, что p = 2/3, ничтожно мала – меньше 0,5%. Этот результат опроса 50 человек даст основание поставить под сомнение опубликованные данные выборов, по которым A избран большинством в 2/3 голосов.