Большая Советская Энциклопедия (АР) - БСЭ БСЭ

  Аксиомы Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с, то b и с тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за п натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Эта аксиома — аксиома полной индукции — даёт возможность в дальнейшем пользоваться грасмановскими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел.

  Эти построения, дающие решение задачи обоснования формальных положений А., оставляют в стороне вопрос о логической структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова, с включением тех операций, которые определяют собой приложения А. как в рамках самой математики, так и в практической жизни. Анализ этой стороны вопроса, выяснив содержание понятия количественного числа, вместе с тем показал, что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными проблемами методологического анализа математических дисциплин. Если простейшие предложения А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логической схемы, то А. как математическая дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих предложений.

  Лит.: Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем. т. 3 изд., т. 1, М.—Л., 1935; Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Беллюстин В. К., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Гребенча М. К., Арифметика, 2 изд., М., 1952; Берман Г. Н., Число и наука о ней, 3 изд., М., 1960; Дептяан И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М., 1967.

  И. В. Арнольд.

Арифметическая прогрессия

Арифмети'ческая прогре'ссия, последовательность чисел (a1, a2, ..., an), из которых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, наз. разностью А. п. (например, 2, 5, 8, 11, ... ; d = 3). Если d > 0, то А. п. называется возрастающей, если d < 0, — убывающей. Общий член А. п. выражается формулой an = a1 + d (n - 1); сумма первых n членов Sn = 1/2(a1 + an)n.

Арифметический треугольник

Арифмети'ческий треуго'льник, треугольник Паскаля, треугольная числовая таблица для составления биномиальных коэффициентов (см. Ньютона бином). По бокам А. т. стоят единицы, внутри — суммы двух верхних чисел.

  В (n + 1)-й строке А. т. — биномиальные коэффициенты для разложения бинома (а + b)n. А. т. приведён в книге Б. Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» (1665).

  Лит.: Успенский В. А., Треугольник Паскаля, М., 1966.

Рис. к статье Арифметический треугольник.

Арифметическое среднее

Арифмети'ческое сре'днее, число (), получаемое делением суммы нескольких чисел (a1, a2, ..., an) на их число (n):

  Например, А. с. чисел 3, 5, 7 равно (3 + 5 + 7)/3 = 5.

Арифметическое устройство

Арифмети'ческое устро'йство (АУ), одно из основных устройств электронной цифровой вычислительной машины (ЦВМ), в котором непосредственно выполняются арифметические и логические операции над числами. Выполнение любой арифметической или логической операции в АУ сводится по существу к последовательному выполнению ряда элементарных операций или микроопераций: установка в «нуль» любых разрядов блоков АУ, приём кода числа или отдельного разряда, выдача кода, получение инверсной (обратной) величины кода числа, сложение кодов, сдвиг кода в сторону младших или старших разрядов числа и т.д.

  К арифметическим операциям относятся сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. Последние два действия, а также возведение в степень, определение логарифмов, тригонометрических функций и т.п. часто выполняются по стандартным подпрограммам. Основная операция ЦВМ — сложение, к которому сводятся все арифметические операции. Например, вычитание числа В из числа А заменяется сложением с помощью соотношения А - В = А + (-В), в котором оба числа могут быть представлены прямым, обратным или дополнительным кодом (см. Код в вычислительной технике); умножение сводится к многократному суммированию множимого; деление — к последовательному нахождению цифр частного с помощью сложения и вычитания.

  АУ в составе ЦВМ связано с запоминающим устройством (ЗУ) и центральным устройством управления (см. Управляющее устройство). Из ЗУ поступают исходные числа, по команде центрального устройства управления («сложить», «вычесть», «умножить» и т.д.) АУ производит соответствующие операции, результаты операций передаются снова в ЗУ, а сигналы окончания операции, признаки переполнения разрядной сетки и др., при необходимости,—в центр. устройство управления.

  Основные характеристики и состав АУ зависят от принятой системы счисления, разрядности чисел, требуемого быстродействия, алгоритмов выполнения операций и их ускорения, формы представления чисел и типа применяемых схем и связей между ними (потенциальные, импульсные или импульсно-потенциальные).

  АУ обычно состоит из нескольких регистров для кратковременного хранения чисел, сумматоров, логических цепей для выполнения элементарных операций над числами и местного устройства управления, воспринимающего команду на выполнение операции от центр. устройства управления машины и отрабатывающего необходимую последовательность частных команд.

  В зависимости от применяемого способа суммирования чисел различают АУ последовательного, параллельного и последовательно-параллельного действия. В АУ последовательного действия суммирование двух чисел выполняется одноразрядным сумматором, через который последовательно, начиная от младших, проходят все разряды слагаемых. В АУ параллельного действия все разряды каждого из слагаемых передаются в сумматор одновременно, количество разрядов сумматора соответствует количеству разрядов в слагаемых. АУ последовательно-параллельного действия — промежуточная форма. Регистры параллельного АУ строятся из триггеров или аналогичных элементов и обеспечивают одновременный доступ ко всем разрядам числа. В АУ последовательного действия в качестве регистров используются также линии задержки, которые, если необходимо, замыкаются в кольцо через усилители и логические цепи рециркуляции. В элементах и схемах АУ используются электронные лампы (в ранних образцах), транзисторы, полупроводниковые диоды, ферриттранзисторные ячейки и ферритдиодные ячейки. В АУ с микропрограммным управлением в составе местного устройства управления применяют также ферритовые матрицы для хранения микропрограмм операций.

  Общие требования к элементам схем АУ — высокая надёжность, взаимозаменяемость однотипных элементов, технологичность, повторяемость основных характеристик в производстве. В зависимости от способа кодирования чисел АУ строятся для операций в двоичной или десятичной, реже — в троичной или какой-либо другой системе счисления, с различным количеством разрядов, с числами, представленными с фиксированной или с плавающей запятой, или с теми и с другими.

  Методы ускорения выполнения операций применяются либо к элементарным операциям (частям полных), либо к полным операциям АУ. Особенно эффективно ускорение элементарной операции суммирования, поскольку она входит существенной частью в алгебраическое сложение-вычитание, умножение, деление и др. В последовательных АУ ускорение суммирования достигается переходом к последовательно-параллельным схемам; в параллельных — применением схем, использующих статистический характер переносов, схем «с мгновенным переносом» и т.д. Наиболее разработаны методы ускорения умножения. В последовательных устройствах они основаны большей частью на введении дополнит. сумматоров, позволяющих одновременно суммировать несколько частичных произведений; в пределе наличие n сумматоров последовательного типа (или n/2 сумматоров и логических схем) даёт возможность выполнить умножение за 2n тактов. В параллельных АУ применяются методы ускорения умножения логические и аппаратные 1-го и 2-го порядка. Логические методы основываются на преобразовании множителя; увеличение аппаратуры при их использовании касается только местного устройства управления и не зависит от количества разрядов в перемножаемых числах; теоретический и практический предел возможностей логических методов — уменьшение среднего количества суммирований при выполнении одного умножения до 1/3 на каждый двоичный разряд множителя. Аппаратные методы 1-го порядка основываются на введении дополнительных сумматоров, дополнительных цепей запоминания переносов или замене цепей сдвига цепями умножения и деления на особые множители; количество дополнительного оборудования пропорционально количеству разрядов; количество тактов суммирования в процессе умножения теоретически может быть уменьшено до одного (независимо от количества разрядов множителя), но практически этот предел не достигается. Аппаратные методы 2-го порядка основываются на построении пирамид сумматоров; количество оборудования пропорционально квадрату количества разрядов, время умножения — 2—3 такта суммирования. Аналогичные методы разрабатываются для ускорения операции деления.