Занимательная теория вероятности - Александр Исаакович Китайгородский

множеством пятен — следов отклоненных (диафрагмированных) лучей. Если ставить кристалл под разными углами к лучу, то каждый раз мы будем фиксировать другие пятна. Всего от кристалла средней сложности можно получить несколько сот или даже несколько тысяч разных дифракционных пятен. Расстояния между пятнами, а также их интенсивность хранят богатейшую информацию о структуре всего кристалла и составляющих его молекул. Но извлечь из таких картин сведения о пространственной конфигурации одной молекулы и о взаимном расположении всех оказывается задачей совсем нелегкой, и, естественно, тем более трудной, чем сложнее химическая формула молекулы.

Насколько задача определения структуры кристалла (трехмерное тело) сложнее нахождения расстояния между щелями дифракционной решетки (двухмерный объект), простейшего примера использования дифракционного опыта для определения геометрии объекта, поясним на таком сравнении.

Аналогом кристалла в двумерном мире, очевидно, будет «решетка» обоев. Пусть на обоях в детской комнате изображены девочки, играющие с мячом. Все девочки и все мячи, разумеется, совершенно одинаковы. Художник мог по-разному расположить этих девочек: либо одну над другой, либо с каким-то сдвигом, либо по три девочки в вершинах треугольника и так далее. Короче говоря, девочки могут быть расположены, или, как говорят в отношении молекул, упакованы по-разному. Вполне понятно, что при описании обоев вовсе недостаточно лишь указать расстояния между девочками и их взаимное расположение; нужно знать, как нарисована девочка: какое у нее платье, какие кудряшки, какой мячик и где он находится. Так и для кристаллического вещества нужно знать не только упаковку молекул, но и знать, как построена молекула. А получить эти сведения во много раз труднее, чем измерить расстояние между девочками на обоях и описать их вид. Кристалл построен из молекул, которые вполне аккуратно, то есть периодически, заполняют пространство, образуя трехмерную пространственную «решетку». В какой же связи находятся пятна на рентгенограмме (так называется пластинка, на которой зафиксированы дифракционные пятна) с упаковкой молекул и строением каждой молекулы?

Если говорить о принципиальной стороне дела, то ответить на этот вопрос легко. Только что при помощи простого рисунка мы пояснили, как появляются соотношения между углом отклоненного луча и расстоянием между щелями дифракционной решетки. Природа связи между рентгеновской дифракционной картиной и структурой вещества та же самая.

Но количественное усложнение — переход от простой линейной последовательности рассеивающих объектов (щелей) к сложнейшему пространственному рисунку атомов, берущих на себя роль рассеивающих центров, — воистину грандиозное.

Уже давно решение математических задач поручено вычислительным машинам. Сотрудничая с математиками-программистами, я не раз пытался объяснить сущность радостей и горестей структурщиков.

Как правило, такие собеседования выглядели примерно так. Прежде всего я выписывал на листе бумаги основные математические уравнения (они были получены уже самим Лауэ).

— Данные опыта, — пояснял я программисту, — это сведения о направлении отклоненного луча и его интенсивности. Вот соответствующие символы.

— Ясно, — следовал ответ.

— Нам нужны данные о структуре.

— В каком виде?

— Конечно, нужны координаты атомов. А еще лучше, если бы машина рисовала трехмерную картину; есть же аналоговые машины. Пусть картина будет условная: атомы — это точки, а силы связи — штрихи.

— Но позвольте! — вглядываясь в написанные мной уравнения, говорит программист. — Не морочьте мне голову рисунками, у вас тут дела посложнее: уравнения-то не решаются!

— Ну, не совсем так, — говорю я со вздохом. — Все же решаются, но не в нужную вам сторону.

Дело в том, что характер этих уравнений таков, что, решив их, можно представить себе интенсивность и направление лучей (то есть можно составить суждение о виде рентгенограммы), если известна структура. Но нам-то надо решить обратную задачу — по виду рентгенограммы установить расположение атомов. А это вот и не получается. Проблема «квадратного корня» — так называл я в лекциях эту проклятую трудность, мешающую превратить богатейшую опытную информацию в четкие картины структуры.

Уравнение у2 = х решается только в одну сторону. Если известен у (скажем, плюс пять), то недвусмысленно вычисляется х (будет 25). Если же имеются сведения об х (25), то у может равняться плюс 5 и минус 5. У структурщиков же не одно такое уравнение, а тысяча, и с помощью рентгенограммы можно найти тысячу разных игреков с точностью до знака.

Ситуация досадная, и, несмотря на то, что этим методом были определены структуры простейших молекул, специалистам в области рентгеноструктурного анализа стало понятно, что, если проблема решения этих уравнений повиснет в воздухе, толку от метода не будет.

Пока задачи были несложными, трудность обходили самым простым способом. Так, если уравнения не позволяют переходить от рентгенограммы к структуре, то они неплохо прокладывают путь от структуры к рентгенограмме. Этим обстоятельством мы и пользовались.

— Вот эта структура кажется мне весьма логичной, произведите, пожалуйста, расчет рентгенограммы, — прошу я сотрудника.

На следующий день сопоставляем полученный расчет с опытными данными.

— Ничего похожего! — с нескрываемым удовольствием говорит коллега. — Я ведь говорил, что этот атом кристалла надо посадить вот сюда.

— Посадите, — говорю я мрачно.

Так, внося небольшие изменения в рисунок «обоев» (подвинув мяч, изменив форму кудряшек, удлинив платьице) и сравнивая расчеты с опытом, пытаемся приблизиться к истине. Действуя этим методом, который англичане назвали образно методом «проб и ошибок», в конце концов добиваемся удовлетворительного совпадения расчетов с опытом. Минусов в такой работе два, и значительных. Во-первых, даже мало-мальски сложные случаи требуют колоссальных расчетов. Во-вторых, все время остается сомнение, что есть и другие решения, которые не хуже сходятся с опытом, но остались нами не замеченными.

Было придумано множество математических ухищрений, которые облегчали задачи. Но довольно долгое время проблема казалась почти неразрешенной. Значительный шаг вперед был сделан в середине 1930-х годов. Теоретически было показано, что уравнения решаются более или менее достоверно в нужную нам сторону (от рентгенограммы к структуре) в случае, если исследуемая молекула содержит один тяжелый атом, и тогда проблему «квадратного корня» удается обойти. Но что делать, если интересующая нас органическая молекула не содержит таких атомов? Ввести?! Химики, если захотят, легко могут провести эту операцию. Но вводить такой атом надо умело, чтобы не испортить вид молекулы.

В разных случаях это приходится делать по-разному: один раз тяжелый атом-метку выгодно крепить в одном месте молекулы, другой раз — в другом. Так получаются «меченые» вещества, которые обычно и решают задачу.

Метод «тяжелого атома» и метод «проб и ошибок» могут применяться совместно. Первый подсказывает исследователю-структурщику, какие модели молекул имеет смысл пробовать, а второй — позволяет ему более уверенно угадывать знаки квадратных корней.

Метод «тяжелого атома» довольно простой и автоматичный, и его выполнение может быть легко запрограммировано для электронно-вычислительной машины. Но у него есть и недостаток —