Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Этот результат восхитительным образом противоречит нашей интуиции. Казалось бы, если взять число, состоящее из 200 или около того цифр, причем по большей части из больших цифр, скажем восьмерок и девяток, то произведение всех этих цифр окажется достаточно большим, и для того, чтобы в конце концов добраться до однозначного числа, потребуется существенно больше и шагов. Однако, как оказалось, большие числа схлопываются под собственным весом. Дело в том, что если в числе хоть раз появится нуль, то произведение всех его цифр окажется равным нулю. Если в числе, с которого вы начали, нет нулей, то нуль непременно появится на 11-м шаге, если только число уже не свелось к этому моменту к единственной цифре. Слоун считает свой алгоритм необычайно эффективным убийцей чисел-гигантов.

Не останавливаясь на достигнутом, Слоун составил последовательность, в которой n-й член есть наименьшее число с продолжительностью жизни, равной n. (Мы рассматриваем только числа, имеющие по крайней мере две цифры.) Первый такой член равен 10, потому что 10 → 0, так что 10 — это наименьшее двузначное число, которое претерпевает редукцию за один шаг.

Второй член равен 25, потому что 25 → 10 → 0 и 25 есть наименьшее число, которое редуцируется за два шага.

Третий член равен 39, потому что 39 → 27 → 14 → 4 и 39 есть наименьшее число, которое редуцируется за три шага.

Приведем всю последовательность:

(А3001) 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68 889, 2 677 889, 26 888 999, 3 778 888 999, 277 777 788 888 899

На мой взгляд, эта последовательность странным образом завораживает. В ней одновременно присутствуют и некая отчетливая структура, и малая толика асимметричного беспорядка. Продолжительность жизни — это нечто вроде автоматической линии по выпуску сосисок, которая выдает связки своеобразных сосисок длиной не более 11 штук.

Друг Слоуна профессор Джон Хортон Конуэй из Принстона тоже любит нестандартные математические концепции. В 2007 году он изобрел понятие степенной трансмиссии. Степенная трансмиссия числа, записанного в виде abcd…, — это abcd… В случае чисел с нечетным числом цифр его последней цифре не во что возводиться, так что abcde переходит в abcde. Возьмем 3462. Из него получаем 3462 = 81 × 36 = 2916. Будем применять степенную трансмиссию повторно, пока не останется однозначное число:

3462 → 2916 → 2916 = 512 × 1 = 512 → 512 = 10 → 10 = 1.

Конуэй пожелал узнать, имеются ли какие-либо неразрушаемые числа — те, которые не сводятся к однозначному числу при применении степенной трансмиссии. Ему удалось найти только одно:

2592 → 2592 = 32 × 81 = 2592.

Но не такой человек Нил Слоун, чтобы сидеть сложа руки, глядя на то, как другие изобретают числа! Он открыл второе такое число[48]

24 547 284 284 866 560 000 000 000.

Слоун в настоящее время уверен, что других неразрушаемых чисел нет.

Задумаемся об этом на минутку: конуэевская степенная трансмиссия — это смертоносная машина, убивающая каждое число во Вселенной, за исключением 2592 и 24 547 284 284 866 560 000 000 000 — двух с виду никак не связанных неподвижных точек в безграничном мире чисел. «Это потрясающий результат», — говорит Слоун. Большие числа при применении степенной трансмиссии умирают достаточно быстро по тем же причинам, по которым они умирают при вычислении их продолжительности жизни, — появляется нуль, и все становится ничем. Я спросил Слоуна, может ли устойчивость этих двух чисел по отношению к степенной трансмиссии найти какое-либо применение в реальном мире. Он думает, что нет. «Это просто забавно. И ничего плохого в этом нет — надо же иногда просто развлечься».

И Слоун развлекается вовсю. Он исследовал так много последовательностей, что развил свою собственную числовую эстетику. Одну из его любимых последовательностей изобрел математик из Колумбии Бернардо Рекаман Сантос, и называется она последовательностью Рекамана:

(А5132) 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45…

Давайте взглянем на эти числа и постараемся углядеть закономерность. Смотрите внимательно. Они скачут вроде бы без всякого порядка.

На самом же деле эти числа получаются применением следующего простого правила: «вычитайте, если возможно, а если невозможно — то складывайте». Чтобы получить n-й член, мы берем (n - 1)-й и либо прибавляем к нему, либо вычитаем из него n. Правило гласит, что следует применять вычитание во всех случаях кроме тех, когда результат оказался бы или отрицательным числом, или числом, уже присутствующим в последовательности. Вот как вычисляются первые четыре члена, если начать с нуля (нулевого члена):

Первый член равен нулевому члену плюс 1.

Результат: 1.

Мы должны складывать, потому что вычитание 1 из 0 дало бы -1, что запрещено.

Второй член равен первому члену плюс 2.

Результат: 3.

Мы снова должны складывать, потому что вычитание 2 из 1 дало бы -1, что запрещено.

Третий член равен второму члену плюс 3.

Результат: 6.

Мы должны складывать, потому что вычитание 3 из 3 дало бы 0, который уже присутствует в последовательности.

Четвертый член равен третьему члену минус 4. Результат: 2.

Мы должны вычитать, коль скоро это возможно.

И так далее.

Во время всего этого довольно занудливого процесса мы имеем дело с целыми числами и получаем ответы, которые выглядят совершенно бессистемными. Однако закономерность, которая здесь возникает, можно увидеть, если изобразить последовательность в виде графика. По горизонтальной оси отложим номер члена, так что n-й член будет расположен над числом n, а по вертикальной оси — значение этого члена. График для первой тысячи членов последовательности Рекамана не похож, наверное, ни на один из ранее виденных вами графиков. Он подобен брызгам из садового распылителя, или же рисунку ребенка, пытающегося соединить точки друг с другом. (Толстые линии на графике — это скопления точек, выглядящие так из-за неподходящего масштаба.) «Интересно посмотреть, сколь много порядка можно привнести в хаос, — заметил Слоун. — Последовательность Рекамана находится ровно на границе между хаосом и изящной математикой, поэтому-то она так и захватывает».

Последовательность Рекамана

Столкновение порядка и беспорядка в последовательности Рекамана можно выразить и музыкально. В «Энциклопедии» имеется функция, позволяющая прослушать любую последовательность, как если бы она была записана с помощью нот. Представим себе, что имеется фортепиано с 88 клавишами (что составляет диапазон чуть меньше восьми октав). Число 1 соответствует самой нижней ноте, число 2 — второй ноте снизу, и так далее, до числа 88, которое соответствует самой верхней ноте. Когда ноты заканчиваются, мы опять начинаем снизу, так что число 89 возвращает нас к первой клавише. Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 звучат как восходящая гамма, повторяющаяся без конца. Но музыка, создаваемая последовательностью Рекамана, леденит кровь. Она подобна саундтреку из фильма ужасов. Она звучит негармонично, однако не воспринимается как нечто совершенно хаотичное. Можно различить отчетливые музыкальные фразы, как если бы за какофонией скрывалось творение таинственной человеческой руки[49].