Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Стюарт Иэн

Это на редкость любопытный ответ. Бесконечные семейства в целом понятны — они связаны с различными геометриями естественных типов в произвольном числе размерностей. Но пять исключительных групп Ли, по видимости, не связаны ни с чем геометрическим, и их размерности не следуют никакому правилу. Чем выделены пространства размерностей 14, 56, 78, 133 и 248[50]? Что стоит за этими числами? Представьте себе, что требуется перечислить все формы, которые может иметь кирпич, а ответ оказывается чем-то вроде такого:

• вытянутые параллелепипеды размеров 1, 2, 3, 4, …,

• кубы размеров 1, 2, 3, 4, …,

• плиты размеров 1, 2, 3, 4, …,

• пирамиды размеров 1, 2, 3, 4, ….

Само по себе это выглядит прекрасно, но далее список продолжается так:

• тетраэдры размера 14,

• октаэдры размера 52,

• додекаэдры размера 78,

• додекаэдры размера 133,

• додекаэдры размера 248.

И все, больше ничего нет.

Почему существуют кирпичи этих странных форм и размеров? Для чего они?

Это казалось совершенно безумным.

Настолько безумным, что Киллинга огорчал факт существования исключительных групп, и некоторое время он надеялся, что это ошибка, которую ему удастся устранить. Они нарушали элегантность его классификации. Но они в ней присутствовали, и мы начинаем в конце концов понимать почему.

Во многих отношениях эти пять исключительных групп Ли кажутся теперь гораздо более интересными, чем четыре бесконечных семейства. Они представляются важными в физике частиц, как мы увидим позже; они определенно важны и в математике. И у них есть тайное единство, до конца не проясненное, роднящее их с кватернионами Гамильтона и даже с еще более любопытным их обобщением — октонионами. Но об этом — в свое время.

За всем этим стоит ряд чудесных идей, автор которых — Киллинг. Строго говоря, в его работах содержалось несколько ошибок — некоторые доказательства на самом деле не вполне работали. Но все эти ошибки давным-давно исправлены.

Вот так обстояло дело с величайшей математической работой всех времен. А что по ее поводу думали современники Киллинга?

Не слишком много. Признанию не способствовало то, что труд жизни Киллинга облил презрением сам Ли. Киллинг пришелся ему не по душе — по неизвестным причинам. По мнению Ли, Киллинг не сделал вообще ничего важного. Хуже того — разумеется, Ли сам мечтал бы доказать такую теорему. Когда он понял, что его обошли, он прибег к старому как мир приему «кислого винограда». Все, что угодно, сделанное в данной облети, но не самим Ли, утверждал Ли, было ерундой. Хотя и не заявлял об этом совсем уж откровенно.

Еще менее помогала делу недооценка доказанной им теоремы со стороны самого Киллинга. Для него она была бледной тенью чего-то намного более важного, достичь чего ему не удалось, — классификации всех групп Ли. Киллинг был человеком скромным, а Ли сделал все, чтобы он таким и остался.

Во всяком случае, Киллинг опередил свое время. Очень немногие математики понимали, насколько важной вскоре станет теория Ли. Для большинства она казалась довольно техническим отделом геометрии, связанным с дифференциальными уравнениями.

Наконец, Киллинг был убежденным католиком с развитым чувством долга и смирения. Он взял себе за образец св. Франциска Ассизского, и в возрасте 39 лет они с женой вступили в Третий Орден францисканцев. По-видимому, он был глубоко порядочным человеком и, не жалея себя, трудился на благо своих учеников. Он был консерватором и патриотом, которого глубоко печалила социальная катастрофа Германии после Первой мировой войны. Печаль его усугубила смерть двух его сыновей в 1910 и 1918 году.

Истинная ценность исследований Киллинга открылась в 1894 году, когда Эли Картан в своей диссертации заново вывел всю его теорию, а также сделал значительный шаг вперед в классификации не только простых алгебр Ли, но и их представлений в терминах матриц. Картан проявил щепетильность и воздал Киллингу по заслугам практически за все его идеи; сам он лишь привел все в порядок, заполнил несколько пробелов (некоторые из них были весьма серьезными) и модернизировал терминологию. Однако быстро распространился миф о том, что работа Киллинга изобиловала дырами и что по-настоящему все сделал Картан. Математики нечасто оказываются хорошими историками, а потому они стремятся цитировать скорее известные им работы, нежели те, которые лежат в их основании. Таким образом имя Картана оказалось связанным со многими из идей Киллинга.

Любой, кто прочитает статьи Киллинга, быстро обнаружит, что миф — это всего лишь миф. Идеи Киллинга ясно и хорошо сформулированы, доказательства, возможно, несколько старомодны, но почти все правильны. Что более важно, общий охват его идей прекрасно выбран для того, чтобы получить желаемый результат. Все это — математика высшего порядка, и сделана она именно им.

К сожалению, статей Киллинга почти никто не читал. Все читали Картана и не обращали внимания на реверансы в адрес Киллинга. В конце концов, однако, работа Киллинга начала получать должное признание. В 1900 году он получил премию Лобачевского, присуждаемую Казанским физико-математическим обществом. То был второй раз, когда присуждалась эта премия; в первый раз награжден был Ли.

Киллинг умер в 1923 году. Даже сегодня его имя известно не так хорошо, как оно того заслуживает. Он был одним из величайших когда-либо живших математиков. По крайней мере, его наследие бессмертно.

Глава 11

Служащий бюро патентов

К началу двадцатого столетия группы начали проявлять себя в фундаментальной физике — области знания, которой в силу этого предстояло претерпеть не меньшую трансформацию, чем та, что произошла из-за появления групп в собственно математике.

В золотой 1905 год человек, ставший затем величайшим ученым своего времени, опубликовал три статьи, каждая из который произвела переворот в одном из разделов физики. Он не был в то время профессиональным ученым. За плечами у него был университет, но никакой преподавательской должности ему получить не удалось, и работал он в бюро патентов в швейцарском Берне. Звали его, разумеется, Альберт Эйнштейн.

Если какой-то один человек и олицетворяет собой современную физику, то это Эйнштейн. Для многих он олицетворяет также и математический гений, хотя в действительности он был просто квалифицированным математиком, а не первопроходцем уровня Галуа или Киллинга. Творческие способности Эйнштейна лежали не в области создания новой математики, а в феноменально глубокой интуиции относительно структуры физического мира, которую ему удалось выразить, замечательным образом используя существующую математику.

У Эйнштейна были также вкус и склонность к правильной философской точке зрения. Он извлекал радикальные теории из простейших принципов, причем направляло ход его мыслей представление об изяществе, а не всестороннее знание экспериментальных фактов. Важные наблюдения, по его убеждению, всегда можно отфильтровать в несколько ключевых принципов. Дорога к истине пролегает через красоту.

Неисчислимое множество страниц и дело всей жизни многих исследователей посвящены изучению жизни и работ Эйнштейна. Одна-единственная глава меркнет в сравнении с ними в отношении широты и глубины охвата. Но Эйнштейн — ключевая фигура в истории симметрии, потому что именно он более чем кто-либо другой запустил цепочку событий, превративших математику симметрии в фундаментальную физику. Я не думаю, что сам Эйнштейн воспринимал это именно так; для него математика была служанкой физики — временами не слишком послушной. Только позднее, следуя намеченному Эйнштейном пути и разбираясь в запутанных, разобщенных ростках, которые появились на этом пути в результате его пионерских усилий, следующее поколение смогло оценить изящные и глубокие математические концепции, на которых основывалось сделанное им.