φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Фракталы

Модель квазикристаллов Стейнхардта-Джуна обладает одним интересным свойством: она создает дальний порядок из взаимодействий соседних элементов, однако полностью периодический кристалл при этом не получается. Невероятно, но факт: в общем и целом это же свойство мы обнаруживаем у чисел Фибоначчи. Рассмотрим простой алгоритм, позволяющий создать последовательность, получившую название золотой последовательности. Начнем с числа 1, затем заменим 1 на 10. Теперь будем заменять все 1 на 10, а все 0 на 1. Тогда у нас получатся следующие этапы:

1

10

101

10110

10110101

1011010110110

101101011011010110101

И так далее. Очевидно, что мы начали с «ближнего» правила (простое превращение 0 в 1 и 1 в 10), а получили непериодический «дальний порядок». Обратите внимание, что количество цифр 1 в каждой строчке составляет 1, 1, 2, 3, 5, 8. ., то есть числа Фибоначчи, как и количество цифр 0, начиная со второй строчки. Более того, отношение числа единиц к числу 0 по мере удлинения последовательности становится все ближе к φ. Далее, изучение рис. 27 показывает, что если обозначить новорожденную пару крольчат 0, а взрослую пару 1, то количество пар кроликов будет в точности повторять только что приведенную последовательность. Однако неожиданные свойства золотой последовательности этим не исчерпываются. Если начать с 1 (в первой строчке), за которым следует 10 (вторая строчка) и попросту приписывать к каждой строчке непосредственно предшествующую, тоже получится цельная последовательность. То есть четвертая строчка 10110 получается, если приписать вторую – 10 – к третьей – 101, и т. д.

Вспомним, что самоподобие означает симметрию при любом масштабе. Логарифмическая спираль обладает самоподобием, поскольку, как ее ни увеличивай, выглядит всегда одинаково, как и череда вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пентаграмм на рис. 10. Каждый раз, когда вы приходите в парикмахерскую, вы видите бесконечную череду собственных самоподобных отражений в двух параллельных зеркалах.

Так вот, золотая последовательность тоже самоподобна при любом масштабе. Возьмем последовательность

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1…

И посмотрим на нее в лупу – конечно, не в буквальном смысле слова. Начнем слева и каждый раз, когда нам встретится 1, будем помечать группу из трех символов, а когда нам встретится 0 – группу из двух символов, только так, чтобы группы не перекрывались. Например, первая цифра у нас 1, поэтому мы отметим группу из первых трех символов – 101 (см. ниже). Вторая цифра в ряду у нас 0, поэтому мы отметим группу из двух символов 10, следующую за первой группой 101. Третья цифра – 1, значит, отмечаем три цифры 101, которые следуют за 10, и т. д. Теперь размеченная последовательность выглядит так:

101 10 101 101 10 101…

А теперь оставим первые две цифры из каждой группы по три и первую – из каждой группы по две (то, что мы оставляем, подчеркнуто):

И взглянем на получившуюся последовательность из оставшихся цифр:

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0…

Как видите, она идентична золотой последовательности.

Можно проделать и другое упражнение по увеличению золотой последовательности путем подчеркивания той или иной закономерной подпоследовательности. Скажем, в качестве подпоследовательности выберем 10 и будем подчеркивать это сочетание цифр в золотой последовательности везде, где оно встретится:

Если теперь мы будем обращаться с каждым сочетанием 10 как с единым символом и обозначим количество мест, на которые надо сдвинуть каждое сочетание 10, чтобы перекрыть его со следующим 10, то получим последовательность 2122121… (первое 10 надо сдвинуть на два места, чтобы оно наложилось на следующее, третье – на одно место и так далее). Если теперь в получившейся последовательности заменить каждую цифру 2 цифрой 1 и каждую 1 – нулем, мы снова получим золотую последовательность. В общем, если взять любую закономерность в пределах золотой последовательности, мы обнаружим, что та же закономерность присутствует в последовательности и при ином масштабе.

Предметы, обладающие таким же свойством, например, русские куклы матрешки, которые вставляются друг в дружку, называются фракталы. Слово «фрактал» (от латинского fractus, что значит «разбитый, фрагментированный») пустил в обращение Бенуа Мандельброт – знаменитый французский и американский математик, родившийся в Польше, и это центральное понятие геометрии природы и теории крайне нерегулярных систем, известных как хаотизированные.

Геометрия фракталов – блестящая попытка описать формы и предметы реального мира. Если оглядеться вокруг, станет понятно, что лишь немногие формы описываются простыми евклидовыми фигурами вроде прямых, окружностей, сфер и кубов. Есть бородатый математический анекдот о физике, который хотел разбогатеть, делая ставки на скачках, а для этого – вывести уравнение движения коня. После долгих трудов он и впрямь составил уравнение движения сферического коня в вакууме. К сожалению, настоящие скакуны отнюдь не сферические, и облака, цветная капуста и человеческие легкие – тоже. Подобным же образом реки, молнии и дренажные системы проходят не по прямой, однако напоминают ветви деревьев и кровеносную систему человека. Рассмотрим, к примеру, фантастически сложные разветвления на картине «Могила великана в снегу» немецкого художника-романтика Каспара Давида Фридриха (1774–1840) (рис. 111, хранится в Галерее новых мастеров в Дрездене).

Колоссальный мыслительный скачок, который проделал Мандельброт, когда сформулировал геометрию фракталов, состоял в основном в том, что ученый обнаружил, что все эти затейливые зигзаги – не помеха математическому описанию морфологии, а главная ее характеристика.

Рис. 111

Первым открытием Мандельброта была важность самоподобия – того факта, что многие природные формы представляют собой бесконечную последовательность мотивов, повторяющих сами себя внутри других таких же мотивов на разных масштабах. Великолепный пример проявления этого качества – раковина наутилуса (рис. 4), как, впрочем, и самая обычная цветная капуста: если отламывать от кочана соцветия, а от них – кусочки все меньше и меньше, они до какого-то предела все равно будут точным подобием целого кочана. Сфотографируйте камешек, отколовшийся от скалы, и вам, возможно, не удастся отличить снимок от фотографии целого утеса. Этим свойством обладает и непрерывная дробь, если ее напечатать (рис. 112): увеличьте еле видные циферки, и вы обнаружите всю ту же непрерывную дробь. Однако во всех этих случаях увеличение масштаба не сглаживает некоторых шероховатостей. Более того, неправильность характерна для любого масштаба.

Рис. 112

Тогда Мандельброт задался вопросом: как определить измерения предмета, обладающего подобной фрактальной структурой? В мире евклидовой геометрии у любого предмета есть измерения, которые можно выразить целыми числами. У точки число измерений – нуль, у прямой – одно, у плоских фигур вроде треугольников и пятиугольников – два, у объемных тел вроде сфер и платоновых многогранников – три. А фрактальные кривые вроде молнии, с другой стороны, так агрессивно изгибаются туда-сюда, что попадают куда-то между одним и двумя измерениями. Если след молнии относительно гладкий, можно представить себе, что число фрактальных измерений близко к единице, если же он очень извилистый, следует ожидать числа измерений, близкого к двум. Все эти размышления вылились в вопрос, сделавшийся в наши дни знаменитым: «Какова длина побережья Британии?» Мандельброт дал на это неожиданный ответ: длина береговой линии, оказывается, зависит от длины линейки, которую возьмет измеряющий. Представьте себе, что вы начинаете со спутниковой карты Британии со стороной в один фут. Измеряете длину побережья, умножаете на нужный коэффициент, исходя из заданного масштаба карты. При таком методе, разумеется, пропадут всякие мелкие извивы береговой линии, которых на карте не видно. Теперь представьте себе, что вы вооружаетесь палкой метровой длины и начинаете долгое путешествие вдоль берегов Британии, тщательно измеряя береговую линию метр за метром. Результат, несомненно, будет гораздо больше прежнего, поскольку вам удастся зафиксировать куда более мелкие извивы и повороты. Однако вы наверняка заметите, что на более мелких участках вы все равно упустите какие-то подробности. Дело в том, что чем меньше будет наша линейка, тем больше окажется результат измерений, потому что всегда оказывается, что при уменьшении масштаба выявляется подструктура. Из этого следует, что, если имеешь дело с фракталами, нуждается в пересмотре даже концепция длины как средства передачи расстояния. Контуры береговой линии при увеличении не становятся прямыми, изгибы присутствуют при любом масштабе, и общая ее длина возрастает бесконечно – по крайней мере, пока мы не дойдем до атомов.