Математика любви. Закономерности, доказательства и поиск идеального решения - Ханна Фрай

Если отбросить блистательное изображение “равенства полов” образца 1950 года, этот пример иллюстрирует интересную, хотя и достаточно парадоксальную точку зрения: не всегда оптимальная стратегия заключается в том, чтобы выбирать именно того партнера, который нравится вам больше всего. В фильме, по крайней мере, вечер заканчивается ко всеобщему удовольствию именно потому, что участники игнорируют свои личные предпочтения.

Этот эпизод служит иллюстрацией математической теории, которая называется теорией игр – она позволяет формализовать стратегии и найти наилучшую тактику в той или иной ситуации.

Несмотря на свое название, теория игр занимается не только развлечениями. Ее можно применить в любой ситуации, где соревнуются двое или больше конкурентов. В данном случае друзья боролись за девушку, но вообще-то теорию игр с успехом используют где угодно, от эволюционной биологии (животные с различными особенностями внутри одного вида конкурируют за пищу и другие ресурсы) до экономики и политики (правительства уравновешивают шансы конкурирующих сторон, чтобы влиять на социальное поведение граждан).

В примере из фильма “Игры разума” единственная стратегия, при которой все мужчины могут остаться в выигрыше, действительно состоит в том, чтобы игнорировать блондинку. Тем не менее в плане главного героя фильма есть уязвимое место: каждый из парней может легко обмануть своих приятелей, пообещав следовать плану, но в последний момент переметнуться от брюнетки к блондинке и выиграть, таким образом, главный трофей. При этом каждому из оставшихся парней все равно достанется одна из девушек, однако в целом этот сценарий не подходит для тех, кто ценит своих друзей и боится их потерять.

Но стоит ли сразу же коварно ставить подножку друзьям – а что, если допущения Нэша ошибочны? Вдруг блондинка окажет явное предпочтение самому красивому парню и не проявит никакого интереса к остальным? Что ж, тогда дальнейшая тактика каждого очевидна: красавчик остается с блондинкой, оставшиеся трое выбирают себе в пару одну из брюнеток. И даже если кто-то из троих в последнюю минуту вдруг все-таки решит попытать счастья с блондинкой, его попытка будет отвергнута (и заодно понизит его шансы добиться благосклонности брюнетки).

В результате каждый из парней будет действовать, исходя из собственных интересов (это называется “равновесием Нэша”), но в то же время эти действия оказываются максимально выгодными для всей группы парней в целом (а это уже “равновесие Парето”).

К сожалению, в реальной жизни редко возникают такие прямолинейные ситуации: четыре одинаковых брюнетки без комплексов и одна сногсшибательная блондинка, от которой все без ума. В реальной жизни у членов реальной группы, скорее всего, будут разные предпочтения, и обычно бывает трудно убедить их принести эти предпочтения в жертву общему благу.

Итак, давайте пока оставим теорию игр. Но это не значит, что математика неспособна помочь вам с пользой провести вечер пятницы: чтобы изучить более жизненную ситуацию, давайте обратимся к еще одной изящной теории. Она показывает, насколько предприимчивым следует быть, отправившись на поиски приключений.

К кому подойти на вечеринке?

Представим себе компанию из трех молодых людей и трех девушек, весело болтающих в клубе. Назовем их Джоуи, Чендлер, Росс, Фиби, Моника и Рейчел. Предположим, что у каждого из этих юношей и девушек есть определенные предпочтения, ранжированный список тех, с кем им хотелось бы завести роман.

Несмотря на то, что все персонажи и события в этом случае полностью вымышлены и никак не связаны ни с одним из тщательно охраняемых авторским правом сериалов, я решила – опятьтаки, совершенно случайно – сделать Монику и Росса братом и сестрой. Но я также решила, что они скорее покинут вечеринку вместе (оставшись в платонических отношениях, разумеется), чем в одиночку, так что они все равно являются друг для друга выбором третьей очереди.

Самая популярная девушка – Рейчел, она стоит на первом месте и в списке Росса, и в списке Чендлера. В то же время и Рейчел, и Моника в своих рейтингах на первое место поставили Джоуи.

Налицо конфликт интересов, и если никто не хочет уйти с вечеринки без пары, необходим какой-то компромисс.

Если этот сценарий будет разыгрываться по весьма старомодному правилу “кавалеры приглашают дам”, то каждый из молодых людей попытается приударить за своей девушкой из первой очереди выбора.

Поскольку за Рейчел будут ухаживать одновременно Росс и Чендлер, ей придется выбирать между ними. В ее списке Росс стоит выше, чем Чендлер, так что будем считать, что Рейчел и Росс образовали пару – во всяком случае, пока (ведь Рейчел все еще втайне надеется, что на нее обратит внимание Джоуи).

Чендлер, оставшийся без партнерши и продолжающий поиск, обратится к своей девушке “второго выбора” – Монике. Поскольку у Моники нет других вариантов, она примет ухаживания Чендлера, хотя, как и Рейчел, предпочла бы Джоуи.

Фиби, не получив предложений ни от Росса, ни от Чендлера, остается с Джоуи.

Итак, теперь все утряслось, у всех парней есть пары:

1. Росс – Рейчел.

2. Чендлер – Моника.

3. Джоуи – Фиби.

Создалась ситуация, которую, с точки зрения парней, уже нельзя улучшить. Лишь Чендлер остался без своего выбора первой очереди – Рейчел, но она сама его отвергла. У парней нет причин меняться партнершами, даже если кто-то из девушек вдруг решит сделать еще одну попытку остаться с парнем, который ей нравится в первую очередь. Конечно, Рейчел предпочла бы Джоуи, но тот ведь уже получил свой предпочтительный выбор и совершенно не заинтересован в обмене.

С точки зрения девушек распределение выглядит не столь удачным. Рейчел, Фиби и Монике достался в конце концов их, соответственно, второй, третий и второй выбор. Не очень-то высокий результат для списка из трех человек, особенно по сравнению с парнями, которые заполучили первый, второй и первый номера из своих списков.

Вся эта история иллюстрирует математическую “задачу стабильного брака” (она же “задача о марьяже”), а подобный процесс поиска партнеров получил название алгоритма Гейла – Шепли, или “алгоритма отложенного согласия”. Если мы более внимательно присмотримся к математической стороне ситуации, то увидим нечто поразительное. Независимо от того, сколько парней и девушек принимают участие в процессе, выходит так, что всякий раз, когда парни делают первый шаг, возможны следующие четыре результата:

1. Каждый находит себе партнера.

2. После того, как все пары определились, ни один парень из какой-либо пары и ни одна девушка из другой пары не смогли бы оба стать более счастливыми, если бы попытались соединиться (да, Фиби, возможно, по-прежнему неравнодушна к Россу, но он-то ведь счастлив с Рейчел).

3. После того как определились все пары, каждый парень получает лучшую из доступных для него девушек.

4. После того, как определились все пары, каждая девушка оказывается с “наименее плохим” из всех парней, которые пытались за ней ухаживать.

Последние два пункта самые удивительные: коротко говоря, группа, которая делает первый шаг (пусть ее участники и рискуют тем, что нарвутся на отказ), в конечном счете все равно оказывается в выигрыше по сравнению с группой, которая вела себя пассивно (то есть только принимала или отклоняла ухаживания).

Мы можем повторить этот простой эксперимент, поменяв ролями женщин и мужчин. Если первый шаг сделают девушки, то, используя те же расчеты, мы получим такие пары:

1. Рейчел – Джоуи.

2. Фиби – Росс.

3. Моника – Чендлер.

Теперь каждая из девушек получила соответственно свой первый, первый и второй выбор – это явное улучшение. В то же время у молодых людей оказались соответственно три вторых выбора – гораздо более низкий результат по сравнению с первым вариантом, когда они играли активную роль.

Этот результат интуитивно понятен. Если вы проявите инициативу и пойдете по своему списку сверху вниз, то в любом случае вам достанется лучшая из возможных в данной ситуации кандидатур. Если же будете сидеть и ждать, пока кто-то подойдет к вам, то в результате окажетесь с “наименее плохим” партнером из всех, кто проявит интерес к вам. Независимо от того, насколько серьезных отношений вы ищете, всегда стоит проявлять инициативу.

Разница в результатах для тех, кто проявляет инициативу и для тех, кто ждет, особенно важна в тех случаях, когда “задача о марьяже” применяется для решения проблем, выходящих за рамки поиска партнера на вечеринке. Например, начиная с 1950-х годов правительство США использует алгоритм Гейла – Шепли в Национальной программе подбора ординатуры (NRMP), цель которой – оптимальное распределение молодых врачей по больницам. В свое время “предложение” выпускникам ординатуры первыми делали больницы. Это давало им возможность заполучить именно тех молодых медиков, которые были им нужны, но не очень подходило самим врачам, которым иногда приходилось переезжать на другой конец страны, чтобы принять “лучшее из худших” предложение. В результате множество врачей были не вполне удовлетворены своим местом работы, а это, в свою очередь, было плохо для больниц и для всей системы здравоохранения. Когда это стало очевидным, организаторы программы предложили врачам взять инициативу в свои руки и самим “делать предложение” той или иной больнице.