Высшая математика. Шпаргалка - Аурика Луковкина

4) пусть {bn} – бесконечно малая последовательность и для всех n справедливо аn ≤ bn, тогда последовательность {аn} тоже является бесконечно малой;

5) бесконечно малая последовательность ограниченна;

6) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

7) пусть {аn} – бесконечно малая последовательность, {bn} – ограниченная последовательность, тогда их произведение есть бесконечно малая последовательность;

8) пусть {аn} – бесконечно малая последовательность, а с – любое действительное число, тогда последовательность {саn} тоже бесконечно мала;

9) произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

Последовательность {аn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {аn – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности: .

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {an} = {A + γn}, где {γn} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {an} ограниченна;

3) пусть последовательности {an} и {bn} сходятся и , тогда сходятся и последовательности {cxn} (c = const) {an ± bn} {an × bn} {an / bn} (в случае частного B ≠ 0, bn ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {an}, {bn}. Тогда если последовательности {an}, {bn} таковы, что an ≤ (≥) bn, то (данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {an}, {bn}, {cn}. Тогда если an ≤ bn ≤ cn и последовательности {an} и {cn} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {bn} тоже сходится к тому же пределу: .

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {an} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное), ;

2) если все элементы сходящейся последовательности {an} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {an} лежит на данном отрезке, ;

3) если все члены сходящейся последовательности {an} an ≤ (і) В, то , где В – некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {an}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

12. Ряд. Сумма ряда. Сходимость ряда. Арифметические действия над рядами. Ряды с положительными членами

Числовым рядом называется выражение ai = а1 + а2 +…+ аn +…, где ai (i= 1, 2…, n…) – вещественные или комплексные числа.

Частичной суммой ряда (n–ой частичной суммой) называется число Sn = а1 + а2 +…+ аn = ai.

Из частичных сумм можно образовать последовательность S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3 и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а сам предел называется суммой ряда, обозначается . Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.

Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то его n–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. . Пусть даны два ряда an и bn. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд (an + bn), при умножении получается ряд , произведением ряда an на число с будет ряд can (с – вещественное или комплексное число).

Теорема. Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммы an = S1 и bn = S2. Тогда справедливо: (an +bn) = S1 +S2, , can = cS1 (где с – число).

Теорема (принцип сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами an и bn. Если ряд an сходится и ai ≥ bi (i = 1, 2…, n), то и ряд bnbn сходится, причем an ≥ bn.

Теорема. Если члены ряда ai не меньше соответствующих членов расходящегося ряда bn, то и ряд an расходится.

13. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Функциональные ряды

Знакопеременный ряд – это ряд с произвольными вещественными числами.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся знакопеременный ряд есть ряд сходящийся.

Теорема. Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема. Если знакопеременный ряд сходится условно, то какое бы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма в точности оказалась бы равной А. Кроме этого, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что после перестановки ряд окажется расходящимся.

Ряд с вещественными членами называется знакочередующимся, если два любых его соседних члена имеют разные знаки. Его иногда записывают следующим образом: (–1)n+1an (ai > 0).

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда an удовлетворяют условиям |an| > |an +1 | (n = 1, 2…) и , то ряд сходится. При этом если an = S, то .