Логическая игра - Льюис Кэрролл

«Некоторые x суть m»

и

«Ни один x не есть не m».

Начнём с отрицательного суждения. Оно говорит нам, что ни одна из булочек, находящихся на верхней половине подноса, не должна лежать вне центрального квадрата, т. е. что клетки 9 и 10 пустые. Ясно, что на диаграмме это выглядит так

Но мы должны ещё нанести на диаграмму суждение «Некоторые x суть m». Оно говорит нам, что некоторые булочки находятся в горизонтальном ряду, состоящему из клеток 11 и 12. Поэтому, как и в предыдущем примере, мы поставим красную фишку на границу, отделяющую клетку 11 от клетки 12, и в результате получим

Попытаемся теперь перевести одну или две диаграммы на обычный язык.

Что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму

Прежде всего мы видим, что квадрат xy' полностью пуст: и клетка 12, и «уголок» 10 помечены нулями. Относительно квадрата xy диаграмма говорит нам, что он занят. Правда, помечена единицей в нем лишь клетка 11, но и этого вполне достаточно, чтобы утверждать (независимо от того, пуст или занят «уголок» 9), что в квадрате xy что-то есть.

Если мы захотим избавиться от признака m и перейдём к меньшей диаграмме, то в её клетках нуль и единица будут расставлены так

что, как известно, означает «Все x суть y».

Точно к такому же результату мы бы пришли, если бы верхняя половина большой диаграммы имела вид

А что можно сказать относительно x и y, глядя на диаграмму

Прежде всего, что одна из частей квадрата xy — его «уголок» — пуста. Но эта информация совершенно бесполезна, поскольку в другой его части — клетке 11 — не стоит ничего. Если эта клетка окажется пустой, то и весь квадрат xy будет пуст. Если же клетка 11 окажется занятой, то и квадрат xy будет занят. Итак, поскольку нам неизвестно, какая фишка стоит в клетке 11 — красная или чёрная, — мы ничего не можем сказать и относительно квадрата xy.

Зато о другом квадрате — xy' — мы можем с уверенностью утверждать, что он (как и в предыдущем примере) занят.

Перенеся разметку на меньшую диаграмму, получим

что означает «Некоторые x суть y'».

Те же принципы применимы и ко всем другим половинкам большой диаграммы — вертикальным и горизонтальным. Например, чтобы представить на большой диаграмме суждение «Все y' суть m'», необходимо взять её правую вертикальную половину (ту, которая отвечает признаку y') и разметить её следующим образом

Если же мы захотим узнать, какое суждение (относительно x и y) содержится в нижней половине большой диаграммы, на которой нули и единицы расставлены так

то, преобразовав её в малую диаграмму

мы без труда «расшифруем» скрытое в ней суждение: «Все x' суть y».

Относительно суждений необходимо сделать ещё два замечания.

Во-первых, в каждом суждении, начинающемся со слов «некоторые» или «все», утверждается, что субъект суждения существует в действительности. Например, если я говорю: «Все скупые люди эгоистичны», то я подразумеваю что скупые люди существуют в действительности. Если бы я хотел избежать такого утверждения или только сформулировать правило, согласно которому скупость с необходимостью влечёт за собой эгоизм, то я выразился бы иначе: «Ни один скупой человек не есть неэгоист». Это суждение не утверждает, что скупые люди вообще существуют. В нем лишь говорится, что если бы скупые люди существовали, то они были бы эгоистами.

Во-вторых, если суждение начинается со слов «некоторые» или «ни один» и содержит более двух признаков, то эти признаки можно произвольно переставлять и относить к любому из терминов суждения.

Например, суждение «некоторые abc суть def» можно преобразовать в суждение «Некоторые bf суть acde», причём каждое из суждений (и исходное, и преобразованное) эквивалентно суждению «Некоторые предметы суть abcdef».

Ещё пример. Суждение «Ни один мудрый пожилой человек не является опрометчивым и безрассудным игроком» можно преобразовать так: «Ни один опрометчивый пожилой игрок не является мудрым и безрассудным (человеком)». Оба суждения эквивалентны следующему: «Ни один человек не является мудрым, пожилым, опрометчивым и безрассудным игроком».

§ 2. Силлогизмы

Предположим теперь, что мы разделили наш «Мир предметов» тремя способами в соответствии с тремя различными признаками. Из трёх признаков можно составить три различные пары (например, если имеются признаки a, b, c, то из них можно составить три пары ab, ac и bc). Предположим кроме того, что два суждения, содержащие две из трёх пар признаков, нам даны, и что из них мы умеем выводить третье суждение, содержащее оставшуюся (третью) пару признаков. (Пусть, например, мы разделили наш «Мир» в соответствии с признаками m, x и y. Тогда, если нам даны два суждения «Ни одно m не есть x'» и «Все m' суть y», содержащее пары признаков mx и my, то, опираясь на них, мы можем доказать третье суждение, содержащее признаки x и y.)

В этом случае те суждения, которые даны, называются посылками, третье, выводимое из них суждение — заключением, а все вместе — силлогизмом.

Ясно, что либо один из признаков непременно должен входить в обе посылки, либо в одну посылку должен входить сам признак, а в другую — ему противоположный.

В первом случае термин, который повторяется дважды (например, когда в качестве посылок выбраны суждения «Некоторые m суть x» и «Ни одно m не есть y'»), называется средним термином, поскольку он служит своего рода связующим звеном между двумя другими терминами.

Во втором случае (например, когда посылки имеют вид суждений «Ни один m не есть x'», и «Все m' суть y») два термина, содержащие противоположные признаки, можно назвать средними терминами.

Таким образом, в первом случае средний термин — это класс «m-предметов», во втором случае в роли средних терминов выступают два класса — «m-предметов» и «m'-предметов».

Признак, входящий в средний член или в средние члены, не входит в заключение. О нем говорят, что его «исключили» (по-учёному, «элиминировали»), что означает буквально «выставили за дверь».

Попытаемся вывести заключение из двух посылок:

«Некоторые свежие булочки неполезные»,

«Ни одна вкусная булочка не неполезная».

Чтобы выразить их с помощью фишек, необходимо разделить булочки тремя различными способами: по тому, свежие ли они, вкусные или полезные. Для этого нам придётся воспользоваться большой диаграммой, условившись заранее, что x означает «свежие», y — «вкусные» и m — «полезные». (Все, что находится внутри центрального квадрата, по предположению обладает признаком m, все, что находится вне его, — признаком m', т. е. «не-m».)

В качестве m лучше всего выбрать признак, входящий в средний термин или в средние термины. (Я обозначил этот признак буквой m потому, что именно с неё начинается слово middle — «средний».)

Изображая на диаграмме посылки силлогизма, лучше всего начинать с отрицательной посылки («Ни один…» и т. д.). Дело в том, что расстановка черных фишек не вызывает никаких сомнений и помогает уточнить расположение красных фишек, которые иногда испытывают лёгкую неуверенность относительно того, где их присутствие наиболее желательно.

Изобразим, например, суждение «Ни одна вкусная булочка не есть неполезная (булочка)», т. е. «Ни одна y-булочка не есть m'-булочка». Оно говорит нам, что ни одна из булочек, находящихся на половине y подноса, не находится в его клетках m' (т. е. «уголках», лежащих вне центрального квадрата). Следовательно, обе клетки — m'-клетка 9 и клетка 15 — пусты, и на каждую из них мы должны поставить по чёрной фишке: