Великая Теорема Ферма - Саймон Сингх

С того самого момента, когда Уайлс принял важное для себя решение заняться систематическим поиском доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры, он вознамерился работать в полной изоляции и секретности. В современной математике сложилась культура кооперации и сотрудничества, поэтому принятое Уайлсом решение могло бы показаться возвращением в прошлое. Он как бы подражал образу действий самого Ферма, самому знаменитому из математических отшельников. Свое решение работать в обстановке полной секретности Уайлс отчасти объясняет желанием работать без помех, не отвлекаясь от основной задачи: «Я понимал, что все, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес. Нельзя как следует сосредоточиться на решении важной задачи, если полностью не отвлечься от всего постороннего. Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели».

Еще одним мотивом избранного Уайлсом курса на уединение и секретность была его жажда славы. Уайлс опасался, что когда он проделает основную часть доказательства, но ему не будет доставать заключительного элемента выкладок, весть о прорыве просочится наружу — и ничто не помешает какому-нибудь сопернику из числа коллег-математиков воспользоваться проделанной Уайлсом работой, завершить доказательство и похитить награду.

В последующие годы Уайлсу удалось совершить ряд чрезвычайно важных открытий, ни одно из которых не обсуждалось и не было опубликовано прежде, чем он довел доказательство до конца. Даже самые близкие его коллеги оставались в неведении относительно проводимых им исследований. Джон Коутс вспоминает, что в разговоре с Уайлсом несколько раз упоминал о гипотезе Таниямы-Шимуры, но Уайлс ничем не выдал своего интереса к проблеме: «Вспоминаю, что несколько раз упоминал в беседе с ним: "Эта связь с Великой теоремой Ферма просто великолепна, но пытаться искать доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры — совершенно безнадежное дело". Насколько мне помнится, Уайлс в ответ только улыбался».

Кен Рибет, установивший связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры, также пребывал в полном неведении относительно тайной деятельности Уайлса. «Вероятно, это единственный известный мне случай, когда кто-то работал над задачей так долго, ни словом не обмолвившись о том, чем он занимается, без обсуждения достигнутых успехов. В моем опыте это беспрецедентный случай. В математическом сообществе принято обмениваться идеями. Математики собираются на конференциях, навещают друг друга, устраивают семинары, обмениваются новостями по электронной почте, разговаривают по телефону, просят подкинуть свежую идею — связь друг с другом им просто необходима. Когда вы разговариваете с коллегами-математиками, вас дружески похлопают по спине, вам скажут, что вы сделали нечто важное, вам подскажут новые идеи. Это — своего рода поддержка. Если вы отрезаете себя от всего этого, то вы делаете нечто психологически очень странное».

Чтобы не возбуждать подозрений, Уайлс придумал хитрую уловку, которая должна была сбить его коллег со следа. В начале 80-х годов он выполнил обширное исследование одного конкретного типа эллиптической кривой и уже собрался было опубликовать его полностью, но открытия Рибета и Фрея заставили его изменить свои намерения. Уайлс решил публиковать свое исследование «по кусочкам», по одной небольшой статье каждые полгода. Это должно было убедить его коллег в том, что он все еще продолжает заниматься своими обычными исследованиями. И столько времени, сколько он сможет поддерживать свою «дымовую завесу», Уайлс сможет продолжать без помех заниматься предметом своей истинной страсти, не сообщая никому о полученных результатах.

О тайне Уайлса знал только один человек — его жена Нада. Они поженились вскоре после того, как Уайлс приступил к работе над доказательством, и, когда стали появляться первые результаты, он посвятил в свою тайну ее и только ее. В последующие годы семья была его единственным отвлечением от проблемы. «Только моя жена знала, что я работаю над доказательством Великой теоремы Ферма. Я рассказал ей об этом в наш медовый месяц, через несколько дней после нашей свадьбы. Моя жена слышала о Великой теореме Ферма, но в то время она еще ничего не знала о том романтическом ореоле, который эта теорема имела в глазах математиков, и о том, каким шипом она оставалась в теле нашей науки столь долгие годы».

Дуэль с бесконечностью

Чтобы доказать Великую теорему Ферма, Уайлсу было необходимо сначала доказать гипотезу Таниямы-Шимуры о том, что каждой эллиптической кривой можно поставить в соответствие некоторую модулярную форму. Многие математики отчаянно пытались доказать эту гипотезу, но все попытки окончились неудачей. Уайлс хорошо сознавал, какие чудовищные трудности ожидают его на пути к доказательству: «В конце концов всё, что наивно надеялись сделать одни и что действительно пытались сделать другие, сводилось к тому, чтобы пересчитать эллиптические кривые и модулярные формы и показать, что число одних совпадает с числом других. Но никто и никогда не предложил простого способа, который позволил бы сделать это. Первая трудность состоит в том, что существует бесконечно много эллиптических кривых и бесконечно много модулярных форм, и поэтому количество тех и других невозможно выразить конечным числом».

Уайлс решил воспользоваться своим обычным подходом к решению трудных задач. «Иногда я записываю на листке бумаги каракули. Строго говоря, они ничего не обозначают. Это, так сказать, подсознательные каракули. Компьютером я не пользуюсь никогда». Во многих задачах теории чисел, компьютеры оказываются совершенно бесполезными. Гипотеза Таниямы-Шимуры относится к бесконечно многим уравнениям, и хотя компьютер может проверить за несколько секунд каждый отдельный случай, он никогда не сможет проверить все случаи. Требовалось нечто другое: логическое рассуждение, которое допускало бы разбиение на отдельные шаги, которое бы в целом указывало причину и давало объяснение, почему все эллиптические кривые без исключения должны соответствовать модулярным формам. И в поиске доказательства Уайлс полагался только на листок бумаги, карандаш и свой разум. «Я не забывал ни на миг о своей цели. С этим я просыпался по утрам, над этим размышлял весь день, об этом думал, засыпая. Не отвлекаясь, я только и делал, что размышлял и размышлял над всем этим».

После года размышлений Уайлс решил избрать за основу доказательства общий метод, известный под названием индукции. Индукция — чрезвычайно мощный способ доказательства, поскольку он позволяет математику доказать, что утверждение справедливо для бесконечно многих случаев, доказав, что оно справедливо только в одном случае. Например, представим себе, что некий математик хочет доказать, что какое-то утверждение справедливо для всех натуральных чисел от 1 до бесконечности. Первый шаг состоит в том, чтобы убедиться в истинности этого суждения для числа 1, что обычно достигается прямой проверкой. Следующий шаг состоит в том, чтобы показать, что если утверждение верно для числа 1, то оно должно быть верно для числа 2, а если оно верно для числа 2, то оно должно быть верно для числа 3, а если оно верно для числа 3, то оно должно быть верно для числа 4 и т. д. Более общо, математик должен показать, что если утверждение верно для некоторого числа n, то оно должно быть верно для следующего числа n+1.

По существу доказательство по индукции представляет собой процесс, состоящий из двух частей:

1. доказательство того, что утверждение верно в первом случае;

2. доказательство того, что если утверждение верно для какого-нибудь одного случая, то оно должно быть верным для следующего случая.

Другой способ наглядно представить себе доказательство по индукции заключается в том, чтобы бесконечное количество случаев сравнить с бесконечным множеством костей домино. Чтобы доказать каждый случай, необходимо найти способ, позволяющий сбить каждую из костей домино. Если сбивать домино одно за другим, то на это потребуется затратить бесконечно много усилий. Но доказательство по индукции позволяет математикам сбить все домино, сбив только первую кость. Если домино расставлены правильно, то первое домино, упав, собьет второе домино, оно в свою очередь собьет третье и т. д. до бесконечности. Доказательство по индукции порождает эффект домино. Математический аналог этого явления (падая, каждая кость домино, сбивает следующую, поэтому достаточно повалить одну-единственную кость домино, как повалятся все остальные кости до единой) позволяет доказать бесконечно много случаев, доказав один-единственный первый случай. В Приложении 10 показано, как доказательство по индукции можно использовать для доказательства сравнительно простого математического утверждения относительно всех чисел.