Катастрофы в природе и обществе - Абрам Фет

Поскольку собственностью, в конечном счете, распоряжаются люди, мы не будем делать различия между индивидуальным и "коллективным" собственником (таким, как компания или кооператив), тем более что мотивы всех заинтересованных индивидов в данном месте и в данное время должны быть в среднем одни и те же; поэтому мы будем говорить о "собственнике" в единственном числе. Собственник всегда субъективно оценивает качество своей собственности, и эта его оценка вовсе не обязательно совпадает с рыночной ценой этой собственности в данный момент.

Мы отдаем себе отчет в том, насколько трудна – и уязвима для критики – количественная оценка субъективных переживаний. До сих пор в этой книге мы не пытались делать такие оценки, хотя и связывали рыночное поведение с психологическими мотивами. Теперь мы, однако, предположим, что собственник приписывает своей собственности численную меру качества Q(t), зависящую от времени t. Если, например, речь идет о предмете долговременного пользования, то Q(t) в течение жизни индивида чаще всего убывает, так как по мере износа качество этого предмета снижается. Другая причина уменьшения Q(t) может действовать даже независимо от износа, когда предмет вовсе не используется: со временем он "выходит из моды", и если такие предметы уже не принято употреблять, то эта величина может даже обратиться в нуль. С другой стороны, владелец может улучшать свою собственность, например, производить посадки леса на своем лесном участке. На рисунке 1 изображена зависимость качества объекта от времени, с точки зрения его собственника.

Рис.1

Нам нужны будут средние значения качества за различные промежутки времени; напомним, что означает этот термин. На рисунке 2 изображен график Q(t) между некоторым начальным моментом tн и конечным моментом tк. Найдем площадь S, лежащую под этим графиком, ограниченную снизу осью t и по сторонам отрезками t = tн и t = tк. Эта площадь равна площади некоторого прямоугольника с тем же основанием, высота которого и принимается за среднее значение Qcр функции Q(t) на отрезке (tн, tк) : на рисунке 2 этот прямоугольник ограничен сверху пунктиром. [Читатель, знакомый с элементами интегрального исчисления, легко проверит, что Qс равно пределу средних арифметических

где t1, t2, ... , tn – близкие последовательные моменты времени от tн до tк].

Рис.2

Нас будут теперь интересовать объекты длительного пользования, время существования которых много больше продолжительности человеческой жизни Т. Таковы, например, пахотная земля и лес – важнейшие экологические объекты. При исследовании долговременных ориентиров человеческого поведения наибольший интерес представляет лес, поскольку земля ежегодно дает урожай, зависящий от усилий земледельца, между тем как лес вызревает слишком долго, чтобы владелец мог получить доход от его эксплуатации. Сосна растет 100 – 150 лет, прежде чем можно получить от нее высококачественную древесину, так что собственник соснового леса, сажая деревья или ухаживая за ними, не может рассчитывать на личные выгоды от этого занятия: доход достанется его внукам. И все же, в Западной Европе и в Соединенных Штатах постоянно производятся лесонасаждения. По некоторым данным, возможно, слишком оптимистическим, в Соединенных Штатах растет теперь больше лесов, чем сто лет назад (конечно, главная трудность состоит в оценке старых данных), а в Западной Европе почти все леса (за исключением Карпат) выросли от искусственных посадок. Непосредственным мотивом лесопосадок является поддержание и увеличение рыночной цены леса, который всегда можно продать, выручив затраты; но при этом надо объяснить, почему удерживается рыночная цена товара, который в настоящее время не может быть использован. Объяснением этого факта мы и займемся.

Можно предполагать, что владелец имущества (для определенности мы будем говорить о лесе) приписывает ему некоторое качество в любой момент времени t, полагая, что это качество сохранится и после его смерти. Поэтому функция Q(t), вообще говоря, убывающая, не обращается в нуль и по истечении времени жизни человека Т (рис.1). Эта функция может даже возрастать, если владелец ухаживает за своим лесом или производит посадки.

Пусть теперь Q0 – среднее значение качества леса за время жизни его владельца (от t = 0 до t = T); Q1 – среднее значение качества за время жизни его сына (от t = 0 до t = 2Т); Q2 – среднее значение за время жизни его внука, и т.д., предполагая, что они по очереди унаследуют этот лес. Напомним, что значения Q0, Q1, Q2,... представляют собой оценки качества леса в будущем, производимые его нынешним владельцем, которые, конечно, субъективны. Но если окажется, что такие оценки приблизительно одинаковы у всех владельцев леса – в данное время и в данной стране – то они приобретают объективный смысл. Можно допустить, что числа Q0, Q1, Q2 ,... образуют убывающую последовательность, то есть что для владельца качество леса при жизни его сына менее важно, чем при его собственной жизни, при жизни внука – менее важно, чем при жизни сына, и т.д. Простейшее предположение состоит в том, что эти числа образуют убывающую геометрическую прогрессию: Q1 в k раз меньше Q0, Q2 в k раз меньше Q1, и т.д., где k > 1.

Очевидно,

,

наконец, для любого целого положительного n

Попробуем выразить эту зависимость не в терминах поколений, а прямо через время t. Если человеческая жизнь длится в среднем Т лет, то n поколений длятся nT лет. Полагая t = nT, имеем n = t/T, и значение Q через t лет – то же, что Qn – можно обозначить через Q(t). Тогда получаем

Q(t) оказывается экспоненциальной функцией времени, с основанием k и показателем -t/T. До сих пор мы считали, что период времени t кратен Т, то есть состоит из целого числа поколений, причем для каждого поколения бралось среднее значение качества леса за время жизни этого поколения (владельца, его сына, внука, и т.д.).

Сделаем теперь следующее обобщение. Перейдем от оценки средних значений качества леса для последовательных поколений – с точки зрения отдельного владельца – к оценке качества леса в любой момент времени t, с точки зрения среднего владельца. Предположим, что эта оценка Q(t) задается той же экспоненциальной функцией, к которой мы пришли выше. Конечно, такое предположение должно быть проверено на опыте, и, в частности, надо указать способ определения числа k, что будет сделано ниже. Мы считаем, следовательно, что если в момент t = 0 средняя оценка качества некоторого леса владельцами лесной собственности составляет Q0, то средняя оценка ими того же леса в любой момент t > 0 составляет

Переход от средних по времени к средним по коллективу, который может показаться читателю несколько произвольным, в действительности представляет собой обычную процедуру в статистической физике, где принимается так называемая "эргодическая гипотеза"; это замечание может быть опущено читателем, не знакомым с физикой, так как в нашем случае гипотеза может быть непосредственно проверена, о чем еще будет речь.

Работая с показательными функциями, предпочитают иметь дело с фиксированным основанием степени (а не со случайным основанием k, как в предыдущей формуле). Переход к любому основанию а не составляет труда. В самом деле, чтобы было справедливо (тождественно по t) равенство

достаточно, чтобы были равны логарифмы обеих частей по основанию а:

(проверьте это равенство, вспомнив правила логарифмирования!). Отсюда

Итак, можно записать Q(t) в виде Q0a-λt , с любым положительным основанием а и λ, заданным последней формулой.

В естествознании пользуются обычно показательными функциями со стандартным основанием e = 2,71828..., именуемым “неперовым числом”. [Дж.Непер (J. Napier, 1550 – 1617) – изобретатель логарифмов. Для знакомых с понятием производной поясним, почему оказывается предпочтение основанию е: показательная функция с этим основанием не меняется при дифференцировании].

Мы также будем придерживаться этого обычая, чтобы наши формулы имели общепринятый вид. Положим в предыдущих выкладках а = е и обозначим через (натуральный логарифм). Тогда имеем

где

При t = 0, T, 2T,..., как читатель легко проверит, Q(t) = Q0, Q1, Q2, ... (здесь надо воспользоваться тем, что elnk=k). Таким образом, получаются прежние значения для качества через одно, два и более поколений. При этом отношения Q1/Q0, Q2/Q1,... равны 1/k. При возрастании k растет и λ, так как основание логарифмов е > 1 и, следовательно, ln – возрастающая функция. Таким образом, чем больше λ, тем меньше принимаются во внимание интересы потомства, а при бесконечно большом λ ( λ=∞) они вовсе игнорируются. По этой причине можно назвать λ "параметром эгоизма".