Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков - Владимир Артурович Левшин

ОА2 = 42 + 52 = 41, а ОА = √44; ОВ2 = 81, а ОВ = 9 и AB2 = (9—4)2 +52 = 50, а АВ  = √50 = 5√2.

Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами п, т и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Ат = От. Во втором — Ап = Вп. В третьем — Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на √3 , то

Иначе:

Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:

— Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки т: х1, у1; точки n: х2, y2; точки р: х3, y3. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что

(Am)2 = (Om)2 = (x1—4)2 + (y1—5)2 = x12 + y12 = 41/3.

Решая систему двух уравнений

(x1—4)2 + (y1—5)2 = x12 + y12 

и

x12 + y12 = 41/3

найдем, что

— А как это у вас получилось? — неожиданно для себя самого интересуется Фило.

— По-моему, это понятно всякому школьнику, — сердито отвечает Мате.

— Допустим. А как же быть с двумя знаками перед вторыми слагаемыми? Какой из них выбрать?

— Ну, а это уж где как. Обратите внимание на то, что первые слагаемые (2 и 2,5) — это координаты середины стороны OA. В самом деле:

O+4/2 = 2 и O+5/2 = 2.5.

А точка m лежит слева от этой середины, но выше ее. Следовательно, в первом равенстве (x1) надо сохранить знак минус, а во втором (y1) — знак плюс. Поэтому окончательно

x1 = 2 — 5/6√3, 

y1 = 2.5 + 2/3√3.

Точно таким же образом найдём координаты точек п и р:

x2 = 6.5 + 5/6√3, y2 = 2.5 + 5/6√3

x3 = 4.5  y3 = —3/2√3

Остается вычислить расстояния между т и п, п и р, р и т. Обозначим их буквой d с соответствующими индексами: тп, пр и рт. Тогда: 

Если теперь вычислить dnp2 и dpm2 окажется, что все три результата одинаковы:

dmn2 = dnp2 = dpm2 = 86/3 + 15√3

Ну, а раз равны квадраты расстояний, то равны и сами расстояния. Стало быть, соединив точки т, п и р, мы получим равносторонний треугольник.

— Кво́д демонстра́ндум э́рат! Что и требовалось доказать, — торжественно заключает Асмодей.

— Не забудьте рассмотреть еще два частных случая первоначального треугольника, — суетливо напоминает Мате. — Когда сумма двух сторон равна третьей и когда одна из сторон равна нулю. — Он протягивает Фило и Асмодею заранее заготовленные чертежики. — Как видите, моя теорема справедлива также и для них.

— Благодарю вас, мсье! Поверьте, мне было чрезвычайно интересно! Поздравляю с удачей! — рассыпается бес, но вдруг совершенно неожиданно зевает и страшно смущается. — Пардон, мсье! Не подумайте, что это от вашей теоремы. Всему виной чай. Он всегда действует на меня, как снотворное. С вашего разрешения я вздремну немножко…

Он взлетает на верхнюю полку и скрывается в книге Лесажа, с силой захлопнув за собой картонную обложку. В ту же минуту оттуда начинает исходить легкое блаженное похрапывание: «Хрр-фью… хрр-фью…»

Филоматики растроганно переглядываются.

— Перерыв?

— Перерыв!

Вечер чайного дня

— Открываем наше вечернее заседание, — объявляет Фило, когда все они снова сидят за столом и Асмодей кулачком протирает заспанные глаза. — Что у нас на повестке… пардон, на чашке дня?

Бес молча указывает на рисунок, где три блистательных кавалера и одна изысканная дама играют в карты.

— Эпизод под названием «В великосветском салоне», — определяет Фило.

Все еще позевывая, Асмодей заглавие одобряет, считает, однако, необходимым добавить, что к этому эпизоду примыкает еще один: «Встреча на улице Сен-Мишель», связанный с ним общей темой «Теория вероятностей». Кроме того, прежде чем перейти к обсуждению, не мешает установить дату…

Мате уверенно объявляет, что разговор за карточным столом мог быть только зимой 1654 года.

— Почем вы знаете? — любопытствует Фило.

— Да потому что речь, если помните, шла о переезде Паскаля и герцога Роанне в Пор-Рояль. Отсюда следует, что интересующий нас эпизод происходил уже после обращения Паскаля, которое, как я выяснил, относится к 23 ноября 1654 года. И судя по тому, что маркиза об этом узнать не успела, разговор ее с де Мере отстоит не слишком далеко от указанной даты. Он мог состояться в конце ноября или в начале декабря.

— Мог-то мог, но вот состоялся ли? — неосторожно прорывается у Фило.

— Пф! — Асмодей возмущенно фыркает и просыпается окончательно. — Не все ли равно! Важно другое: убедительно или неубедительно? Вероятно или невероятно?

— Вероятно, вероятно! — дружно успокаивают его филоматики.

— Вот и перейдем к задачам о вероятностях, о которых так красноречиво рассказывал шевалье де Мере, — ловко поворачивает разговор черт. — Начнем, как полагается, с начала, то есть с первой задачи. Суть ее такова: двое играют в кости, бросая по два кубика сразу. Первый ставит на то, что хотя бы один раз выпадут две шестерки одновременно. Другой — на то, что две шестерки одновременно не выпадут ни разу. Спрашивается, сколько надо сделать бросков, чтобы шансы на выигрыш первого игрока превысили шансы второго.