Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

За одним исключением. В современном мире есть место, где логарифмические линейки по-прежнему широко применяются. Это кабина пилота самолета. Круговая авиационная логарифмическая линейка называется навигационной линейкой. Она измеряет скорость, расстояние, время, расход топлива, температуру и плотность воздуха. Чтобы сдать экзамен на пилота, надо в совершенстве овладеть мастерством расчетов с помощью навигационной линейки — что может показаться исключительно странным в наш век продвинутых компьютерных технологий, когда кабина пилотов напичкана самыми разнообразными современными приборами. Навигационные логарифмические линейки нужны потому, что пилоты должны уметь летать и на маленьких самолетах, где нет бортовых компьютеров. Тем не менее нередко и пилоты, летающие даже на реактивных самолетах, предпочитают пользоваться навигационной линейкой. Имея ее под рукой, можно очень быстро получить оценки всех необходимых величин, а кроме того, нагляднее представлять себе численные параметры полета. Благодаря тому что пилоты умеют обращаться с вычислительным устройством начала XVII века, авиаполеты становятся безопаснее.

Возвращаясь к алгебре, рассмотрим неразлучного спутника школьной математики: системы уравнений. Задача, как правило, состоит в том, чтобы решить систему из двух уравнений, в каждое из которых входят две переменные. Например,

у = x,

у = 3x - 2.

Здесь требуется решить оба уравнения, что мы сейчас и исполним. Подставив значение переменной, взятое из одного уравнения, в другое, найдем решения. В данном случае, поскольку у = x, имеем

x = 3x - 2,

что дает

2x = 2.

Итак, x = 1 и у = 1.

Всякое уравнение, содержащее две переменных, можно представить себе наглядно, на графике. Проведем горизонтальную прямую и пересекающую ее вертикальную прямую. Будем говорить, что горизонтальная прямая — это ось x, а вертикальная — ось у. Оси пересекаются в точке 0. Положение любой точки на плоскости можно тогда определить, указав соответствующие ей значения на каждой оси. Местоположение точки, определяемое числами (a, b), задается как пересечение вертикальной прямой, проходящей через точку а на оси x, и горизонтальной прямой, проходящей через точку b на оси у.

Для всякого уравнения, содержащего x и у, те точки (x, у), в которых значения x и у удовлетворяют заданному уравнению, представляют собой некоторый график. Например, каждая из точек (0, 0), (1, 1), (2, 2) и (3, 3) удовлетворяет нашему первому уравнению, у = x. Если мы нанесем все эти точки на график, то станет ясно, что уравнение у = x порождает прямую линию. Подобным же образом можно изобразить второе из приведенных выше уравнений, у = 3х - 2. Выбирая значение x и затем выясняя, чему равен у, мы устанавливаем, что точки (0, -2), (1, 1), (2, 4) и (3, 7) лежат на линии, описываемой данным уравнением. Это тоже прямая, пересекающая ось у в точке -2:

Если мы наложим одну из наших прямых на другую, то увидим, что они пересекаются в точке (1, 1). Таким образом, мы видим, что решение системы уравнений — это координаты точки пересечения двух прямых линий, описываемых этими уравнениями.

Мысль о том, что уравнения можно выразить в виде линий, представляла собой радикальное новшество, предложенное Декартом в его книге «La Geometrie». Введение Декартовой системы координат носило революционный характер, потому что в ней соединились до того никак не связанные области: алгебра и геометрия. Впервые оказалось, что два различных раздела знания не только связаны между собой, но и являются альтернативными представлениями друг друга. Одна из задач, которые ставил перед собой Декарт, состояла в том, чтобы сделать и алгебру, и геометрию доступнее для понимания, потому что, как он заметил, взятые по отдельности, «они простираются лишь в области весьма абстрактных вещей, с виду не представляющих никакого практического интереса, — геометрия всегда настолько привязана к исследованию фигур, что понимания в ней невозможно добиться без чрезвычайного напряжения воображения, в то время как алгебра до такой степени подчинена всяческим правилам и числам, что превратилась в запутанное и замутненное искусство, которое подчиняет себе ум, вместо того чтобы быть наукой, способствующей развитию ума». Декарт не питал особой склонности к перенапряжению. Он вошел в историю как любитель позднего вставания, прославившись тем, что предпочитал при всякой возможности оставаться в кровати до полудня.

Выполненное Декартом соединение алгебры и геометрии — это мощный пример взаимодействия между абстрактными идеями и пространственным воображением, и это взаимодействие стало с тех пор постоянным сюжетом в математике. Многие из наиболее впечатляющих доказательств в алгебре — включая доказательство Великой теоремы Ферма — опираются на геометрию. Подобным же образом, получив алгебраическое описание, геометрические задачи, история которых составляет до двух тысяч лет, зажили новой жизнью. Одно из наиболее восхитительных свойств математики как раз и выражается в том, как различные с виду предметы оказываются связаны между собой, что приводит к новым неожиданным открытиям.

В 1649 году Декарт по приглашению шведской королевы Кристины перебрался в Стокгольм, дабы исполнять обязанности ее личного наставника. Королева была ранней пташкой. Необходимость вставать в 5 утра, помноженная на отсутствие привычки к скандинавской зиме, привела к тому, что вскоре после приезда Декарт заболел воспалением легких и умер.

Одним из наиболее очевидных следствий из Декартова озарения, заключавшегося в том, что уравнения, связывающие x и y, можно выражать в виде линий, было осознание того факта, что различные типы уравнений дают при этом различные типы линий. Мы можем начать их классификацию прямо с наших уравнений.

Уравнения, подобные у = x и у = 3х - 2, содержащие только x и у, всегда дают прямые линии.

Напротив, уравнения, содержащие квадратичные члены — то есть те, которые включают выражения х2 и/или у2, — всегда дают кривые одного из следующих четырех типов: окружность, эллипс, парабола или гипербола.

Тот факт, что всякую окружность, эллипс, параболу и гиперболу, нарисованные на плоскости, можно описать уравнением, квадратичным по x и у, крайне полезен для науки по той причине, что эти кривые присутствуют в реальном мире. Парабола — это траектория объекта, брошенного в воздух (в пренебрежении сопротивлением воздуха и в предположении однородного гравитационного поля). Когда футболист бьет по мячу, летящий мяч тоже описывает параболу. Эллипсы — это кривые, по которым планеты движутся вокруг Солнца, а траектория, по которой движется в течение дня тень, отбрасываемая самым кончиком гномона солнечных часов, — это гипербола.

Рассмотрим следующее квадратичное уравнение, которое на самом деле подобно машине для рисования окружностей и эллипсов:

где а и b — некоторые постоянные. У этой машины два рычажка, один из которых управляет буквой a, а другой — буквой b. Подбирая значения a и b, мы можем по своему желанию нарисовать любую окружность и любой эллипс с центром в точке 0.

Например, когда a совпадает с b, получающееся уравнение описывает окружность радиуса a. Когда а = b = 1, уравнение принимает вид х2 + y2 = 1 и получается окружность радиуса 1 — «единичная окружность», как та, что нарисована слева на рисунке. Если же а и b — различные числа, то уравнение описывает эллипс, который пересекает ось x в точке а и ось у в точке b. Например, кривая справа — это эллипс, для которого а = 3 и b = 2.