Пятьсот двадцать головоломок - Генри Дьюдени

и т. д.

Во втором случае мы ищем решение в целых числах уравнения 2(x2 + x) = y2. Получаем следующее:

и т. д.

Эти два случая, равно как и предыдущие две головоломки, похожи друг на друга и используют хорошо известное уравнение Пелля.

170. Ошибка Хильды состояла в том, что заданное число она умножила не на 409, а на 49. Разделив величину от полученной погрешности на разность этих чисел, получим требуемое число 912.

171. Семнадцать лошадей требовалось поделить в пропорциях: ½, ⅓, . Это не означает, что сыновья должны получить такие доли от числа 17. Пропорции можно записать также в виде , и . так что сыновья получат соответственно по 9, 6 и 2 лошади каждый и завещание будет строго соблюдено. Следовательно, нелепый старый метод, о котором упомянул Проджерс, случайно приводит к правильному решению.

Один читатель прислал мне следующее хитроумное решение:

172. Перечислим шесть прямоугольных треугольников, имеющих одинаковый, наименьший из возможных (720), периметр: 180, 240, 300; 120, 288, 312; 144, 270, 306; 72, 320, 328; 45, 336, 339; 80, 315, 325.

173. Запишем следующую последовательность чисел, впервые исследованную Леонардо Фибоначчи (родился в 1175 г.), который практически ввел в европейский обиход привычные нам арабские цифры:

Каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Сумма всех чисел, от первого до данного на 1 меньше числа, идущего через один после данного. Если удвоить любой член последовательности и прибавить к нему предыдущий, то получится член, который следует через один после данного. Далее, в первый год приплод будет составлять 0 телок, во второй 1, на третий 1, на четвертый 2 и т. д. При этом как раз и получатся члены данной последовательности. Двадцать пятый член равен 46 386, и если мы сложим все 25 членов, то получим правильный ответ 121 392. Но на самом деле нет необходимости выполнять это сложение. Найдя, двадцать четвертый и двадцать пятый члены, мы просто скажем, что 46 368, умноженное на 2, плюс 28 657 равно 121 393, и вычтем затем 1.

174. Взяв любое число, а потом другое, равное 1 плюс дробь, у которой в числителе стоит 1, а в знаменателе число, на 1 меньшее данного, мы получим пару чисел, дающих в сумме и в произведении одно и то же. Вот несколько примеров: 3 и 1½, 4 и 1⅓, 5 и 1¼ и т. д. Следовательно, получив 987 654 321, я немедленно написал 1. Сумма и произведение равны в этом случае 987 654 322.

Пару 2 и 2 рассматривают как исключение потому, что знаменатель в этом случае равен 1, а второе число тоже оказывается целым 1 = 2. Но можно заметить, что и этот случай подчиняется общему правилу. Число может оказаться как целым, так и дробным, а в условии не говорится, что мы должны найти обязательно целое число, поскольку тогда единственным решением действительно был бы случай 2 и 2. Разумеется, допускаются и десятичные дроби, как, например, 6 и 1,2; 11 и 1,1; 26 и 1,04.

Итак, соответствующее число, парное к n, имеет вид

175. Наименьшее возможное решение имеет вид

176. 1) 6 м; 2) приблизительно 1,57 м; 3) м.

177. При делении данных чисел на искомое получаются одинаковые остатки. Следовательно, если мы вычтем, как показано ниже, одно число из другого, то разность разделится на искомое число без остатка.

Простые делители числа 28 203 равны 3, 7, 17, 79, а 214 406 — 2, 23, 59, 79. Единственный общий делитель двух разностей равен 79. Следовательно, искомое число равно 79, а общий остаток — 51. Просто, не правда ли?

178. Запишем подряд остатки от деления чисел, стоящих в первом столбце, на 2. Получится 1000011, или, если записать в обратном порядке, 1100001. Но последнее число равно 97 в двоичной системе счисления, то есть 1 + 25 + 26. Сложив числа, стоящие во втором столбце против остатков, равных 1, мы получим 23 × 1 + 23 × 25 + 23 × 26 = 2231. Теперь уже ясно, почему получается верный ответ: просто мы действуем в двоичной системе.

179. Правы были эксперты. Пушка делает 60 выстрелов за 59 минут, если она действительно стреляет со скоростью 1 выстрел в минуту. Время отсчитывается с момента первого выстрела, так что второй выстрел будет произведен по истечении первой минуты, третий — по истечении второй и т. д. Можно провести аналогию. Допустим, что на прямой мы отметили 60 точек на равных расстояниях друг от друга. Тогда между первой и последней точкой будет расположено 59, а не 60 отрезков.

180. Существуют разные способы решения этой головоломки, но простейший из них состоит, как я полагаю, в следующем. Допустим, что шестизначное число равно 843 712.

1) Делится ли оно без остатка на 2? Да.

2) Делится ли частное без остатка на 2? Да.

3) Делится ли новое частное без остатка на 2? Да.

Двадцать ваших вопросов должны быть все одинаковыми. Запишите справа налево вместо каждого «да» 0, а вместо каждого «нет» 1. Задав 20-й вопрос, вы получите 11001101111111000000. Это не что иное, как наше число 843 712, записанное в двоичной системе. Поскольку справа стоит 6 нулей, то первая справа единица означает 26, следующая 27 и т. д. Сложив все степени двойки от 6-й до 15-й и прибавив к ним 218 и 219, вы получите число 843 712 в десятичной записи.

Если число не слишком велико, например равно 100 000, то достаточно было бы задать 17 вопросов, знай вы только, что частное равно 0. Три последних вопроса добавят лишних 3 нуля в старших разрядах вашего двоичного числа. Во избежание недоразумений лучше с самого начала считать, что 0 делится на 2 без остатка, а частное равно 0.

181. В каждой стопке число карт должно равняться 13 минус достоинство самой нижней из них. Следовательно, 13, умноженное на число стопок, минус сумма нижних карт и плюс число оставшихся карт должно равняться общему числу карт в колоде, то есть 52. Значит, сумма нижних карт равна 13, умноженному на число стопок, минус 52 и плюс число оставшихся карт. Но это то же самое, что 13, умноженное на число стопок без 4, плюс число оставшихся карт. Читатель с алгебраическими наклонностями легко сможет выразить все это на языке привычных символов.

182. У каждого из родителей было по 3 ребенка от первого брака, и.6 детей родилось от второго брака.

183. Нед Смит и его сестра Джейн получили по 3 яблока. Том и Кэт Брауны получили соответственно 8 и 4 яблока, Бил и Энн Джонсы — 3 и 1 яблоко, а Джэку и Мэри Робинсонам досталось 8 и 2 яблока. Всего было роздано 32 яблока.

184. Мать Мэри звали миссис Джонс. Покупки и затраты распределились следующим образом.

Среди дочерей:

Хильда купила 4 м за 16 центов,

Глэдис купила 6 м за 36 центов,

Нора купила 9 м за 81 цент,

Мэри купила 10 м за 1 доллар.

Среди матерей:

Миссис Смит купила 8 м за 64 цента,

миссис Браун купила 12 м за 1,44 доллара,

миссис Уайт купила 18 м за 3,24 доллара,

миссис Джонс купила 20 м за 4 доллара.

185. Чтобы найти число, представляющее собой одновременно и квадрат, и треугольное число, надо решить уравнение Пелля: 8x2 + 1 = y2 Последовательные значения для x равны 1, 6, 35 и т. д., а для y равны 3, 17, 99 и т. д. Ответом служит число 1225 (352), обладающее требуемыми свойствами.

188. Разумеется, можно найти несколько решений данной задачи, но, по-видимому, наименьшими числами будут:

При отыскании общего решения используется тот факт, что любое простое число вида 4m + 1 представляет собой сумму квадратов. Быть может, читателю захочется найти это решение.

187. Ответом служит число 2⅔. Чтобы найти его, требуется составить пропорцию: 5 : 4 = 3⅓ : 2⅔.

188. Ответ имеет вид

Данное число можно умножить на 4 и разделить затем на 5, просто перенеся 2 из начала в конец.

189. Следующие четыре числа, составленные из пяти нечетных цифр, в сумме дают 14: 11, 1, 1, 1.

190. 1) 8 111½; 2) 18⅔; 3) 7 и 1; 4) 1⅕; 5) 8¼: 6) .

191. У Джека было 11 голов скота, у Джима — 7 и у Дана — 21, то есть всего 39 голов скота.

192. «Галочки» можно расставить 9 864 100 способами.

193. Кубы всех чисел от 14 до 25 включительно (всего 12) в сумме дают 97 344 = 3122. Следующим за наименьшим ответом будут пять кубов 25, 26, 27, 28 и 29, сумма которых равна 3152.

194. 73 = 343, 83 = 512, 512 - 343 = 169 = 132.

195. 6423 = 264 609 288; 6413 = 263 374 721 и разность между кубами равна 1 234 567.

196. Ответом служит число 225 625 (квадраты чисел 15 и 25, выписанные подряд один за другим), равное квадрату 475.