Под знаком кванта. - Леонид Иванович Пономарёв

красота логических построений в науке много важнее, чем эффекты неожиданных ассоциаций, обусловленные ее простыми следствиями.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Все предыдущее должно было убедить нас в том, что электрон — не точка, он не занимает определенного положения в атоме и не может двигаться там по какой-либо траектории. Взамен этого мы пока что усвоили довольно туманную идею о том, что при движении в атоме электрон «расплывается». Эту расплывчатую идею Шрёдингеру удалось выразить весьма точно на однозначном языке формул. Уравнение Шрёдингера, как и всякий глубокий закон природы, нельзя вывести строго из более простых. Его можно только угадать. (Шрёдингер впоследствии признавался, что сам не вполне понимает, как ему это удалось.) Но после того как уравнение угадано, надо еще научиться им пользоваться: надо знать, что означают все символы в уравнении и какие явления в атоме они отображают.

Уравнение Шрёдингера мы однажды уже выписывали:

и объясняли входящие в него символы: ℏ — постоянная Планка h, деленная на 2π, т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме, a V(x) — потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра, удаленных друг от друга на расстояние х. Но нам по-прежнему не ясен смысл волновой функции ψ. Чтобы понять его, обратимся снова к аналогии с колеблющейся струной.

Уравнение ее колебаний, хорошо известное в классической физике,

очень похоже на уравнение Шрёдингера. Несколько решений этого уравнения — функции uk(x) — изображены на рисунке. Это обычные, знакомые всем синусоиды, и смысл их очевиден: они изображают форму струны в какой-то момент времени, то есть моментальную фотографию процесса ее колебания. Форма колебаний струны зависит от числа узлов k, то есть числа точек, остающихся неподвижными в процессе колебания. Им соответствует бесконечный набор решений uk(x), которые различаются между собой числом узлов k. Очень важно то, что никаких других, промежуточных, типов колебаний, кроме пронумерованных индексом k, не существует.

По форме уравнение Шрёдингера лишь несущественно отличается от уравнения струны. Чтобы последнее утверждение не выглядело голословным, введем обозначение

после чего уравнение Шрёдингера примет вид, неотличимый от уравнения колебаний струны:

Если потенциал взаимодействия V(x) = 0, то есть электрон движется свободно вдали от ядра, то энергия Е равна его кинетической энергии, E = mυ2/2, и, следовательно, длина его волны постоянна:

и равна длине волны де Бройля. В этом случае уравнение Шрёдингера в точности совпадает с уравнением струны. При движении в атоме электрон взаимодействует с протоном по закону Кулона, поэтому V(х) = -е2/х, где е — заряд электрона и протона. Теперь уже «длина волны электрона»

не имеет определенного значения и меняется от точки к точке. Однако и в теории колебаний струны такой случай — не новость: если вместо однородной струны колеблется неоднородная, то есть со всевозможными грузами и утолщениями на ней, то ее колебания будут описываться именно таким уравнением. Решения его лишь отдаленно напоминают правильные синусоиды, но они сохраняют главное свойство прежних решений: для них характерно наличие узлов, неподвижных в процессе колебаний, по числу которых эти решения можно пронумеровать.

Таким образом, формально уравнение Шрёдингера ничем не отличается от уравнения нагруженной струны, но смысл их решений, конечно, различен. Вся его сложность — в понятиях, которые мы связываем с величинами, удовлетворяющими этому уравнению.

Взгляните на рисунок, где рядом с синусоидами струны uk(x) изображены решения ψn(x) уравнения Шрёдингера для атома водорода. Они очень похожи. И если даже никаких реальных колебаний, подобных движениям струны, в атоме не происходит, то аналогия не становится от этого менее полезной.

Отмеченная аналогия позволяет пронумеровать решения ψn(x) целым числом n точно так же, как решения uk(x) нумеруются целым числом k, причем никаких других решений, кроме этих, собственных решений в уравнении Шрёдингера не содержится. Более того, целое число n — это и есть то самое непонятное квантовое число, которым Бор нумеровал орбиты электрона в атоме. Теперь оно потеряло свой мистический оттенок: n — это не что иное, как число узлов волновой функции, увеличенное на единицу: n = k + 1.

Первый постулат Бора неким «усилием воли» предписывал электронам двигаться только по тем орбитам в атоме, которые удовлетворяют квантовому условию: mυr = nℏ.

Это был плодотворный, но неестественный для физики принцип, и потому он вызвал у современников сложную смесь восхищения и недовольства. Требование Шрёдингера значительно понятнее: как бы хитро ни двигался электрон в атоме, он должен все-таки находиться внутри атома. Поэтому ψ-функция, которая это движение «представляет», независимо от своей природы должна быть сосредоточена вблизи ядра. Вот из этого единственного и естественного граничного условия однозначно следует, что уравнение Шрёдингера имеет решение не всегда, а только при определенных значениях энергии Еn, которым соответствуют собственные функции ψn(x). Возможные значения энергии электрона в атоме водорода можно найти, решив уравнение Шрёдингера с потенциалом

Эти дискретные значения энергии

стационарных состояний нумеруются целым числом n. Легко видеть, что эти значения в точности совпадают с энергией электрона на стационарных орбитах в атоме Бора, и поэтому надобность в постулатах Бора отпадает — при сохранении всех положительных результатов его модели.

В свое время эти следствия теории Шрёдингера покорили многих своей простотой и естественностью, в уравнение Шрёдингера поверили и стали выяснять последнее: что представляет собой сама функция ψn(x). И если функция uk(x) изображает форму колеблющейся струны, то форму чего изображает ψ-функция?

СМЫСЛ ψ-ФУНКЦИИ

Это один из самых сложных вопросов квантовой механики, на который даже сам Шрёдингер вначале ответил неправильно. Но его ответ так удобен и так близок к истине, что мы им на первых порах воспользуемся.

Электрон в атоме не существует как частица. Он расплывается там в некое облако. Форма и плотность этого облака определяются волновой функцией ψ(x), причем на расстоянии х от ядра плотность ρ(х) электронного облака равна квадрату этой функции:

ρ(х) = |ψ(x)|2.

Чтобы пояснить эту мысль, попытаемся представить себе, например, арбуз и изобразить на рисунке его плотность ρ(х) в зависимости от расстояния х до центра арбуза. Очевидно, что функция ρ(х) для арбуза везде примерно постоянна,