В сути вещей - Владимир Булыгин

В этом смысле, карандаш, расположенный, например, в левой руке будет равен карандашу, который расположен в правой руке, если его переместить в правую руку. Карандаш в левой руке, если его переместить в правую руку = карандаш в правой руке. Но при этом «карандаш в левой руке ≠ карандаш в правой руке».

Здравствуй, Таня!

Теория множеств, по определению, считает два объекта равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это неверно, т. к. два предмета не могут быть равны просто потому, что они должны различаться между собой согласно начального условия, что предметов два.

Другое определение равенства: равенство – тривиальное отношение эквивалентности. Зависимость считается тривиальной, если она не может не выполняться. А эквивалентно то, что взаимооднозначно. Для функции вида «y=2*x», аргументу функции «x=1» однозначно соответствует значение функции «y=2», и значению функции «y=2» однозначно соответствует аргумент функции «x=1». Или, короче, 2 эквивалентно 1. Естественно, что эквиваленция даже с учетом «тривиальности», на роль равенства не подходит.

Эквиваленция попросту никак не оговаривает как именно из аргумента функции «x=1» получается значение функции «y=2» (и ничто иное). Если же это «*2» оговорить, получим отношение равенства.

Именно поэтому будет верным: «если из операнда при воздействии на него оператора следует только образ и ничто иное, то образ – то же самое, что операнд при воздействии на операнд оператора», где образ – то, что получается; операнд – то, из чего получается; оператор – то, благодаря чему из операнда получается только этот образ.

Здравствуй, Таня!

Особого внимания заслуживает логическая эквивалентность. Сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения либо истинны, либо ложны: «(не-А или В) и (А или не-В)», где «А, В» могут принимать значения логического нуля и логической единицы.

Учитывая, что истина и тождество – слова синонимы:

Истина – то же самое, что истина.

Ложь – то же самое, что ложь.

Ложь – не то же самое, что истина.

Истина – не то же самое, что ложь.

Какое отношение имеет логическая эквивалентность к семантике? Ведь никто в здравом уме не скажет, что верблюд – то же самое, что канарейка. Она только в одном: существовать – то же самое, что истина; не существовать – то же самое, что ложь. Никакой иной смысл логическая эквивалентность не несет!

Высказывание «верблюд – то же самое, что канарейка» истинно высказыванию «канарейка – то же самое, что верблюд» и истинно высказыванию «верблюд – не то же самое, что верблюд». И высказывание «верблюд – то же самое, что верблюд» истинно высказыванию «канарейка – то же самое, что канарейка» и истинно высказыванию «верблюд – не то же самое, что не верблюд». А высказывание, например, «верблюд – то же самое, что канарейка» ложно высказыванию «верблюд – то же самое, что верблюд» и ложно высказыванию «канарейка – то же самое, что канарейка».

Думаю, что Гегель о бытии и о небытии думал так: существующее существует («=» = «=»), несуществующее существует («≠» = «≠»), что вполне согласуется с математикой. Но он мыслил и другую сторону логики – противоречие: существующее не существует («=» ≠ «=»), несуществующее не существует («≠» ≠ «≠»).

Здравствуйте, Владимир!

Ну, что ж, начнем с брадобрея. Более подробно о моем подходе к парадоксам можно ознакомиться в моей статье «С чем идет современная логика в XXI век?». Ее легко найти в Интернете. Начну с того, что я смотрю на парадоксы как на примеры некорректных рассуждений. Все парадоксы я в этом плане не анализировал, но некоторые попытался. В том числе и два варианта парадокса Рассела.

В Брадобрее фишка в том, что отождествляются два разных термина «брить» и «бриться». Первый антирефлексивный, второй – рефлексивный. Указание брадобрею исходит из того, что в языке это различие имеет место. Если же мы, руководимые «свободой мысли», их смешиваем, то получаем парадокс.

Хороший пример того, как склонение одного и того же слова приводит к противоположному значению, шутка Марка Твена: «Нет ничего легче, чем бросить курить, я сам сто раз бросал».

Здравствуйте, Борис Александрович!

Немного детских впечатлений. Лет тридцать назад, еще в школе столкнулся с парадоксом всемогущества и прекрасно помню то удивление, которое этот парадокс у меня тогда вызвал: «может ли бог создать камень, который не сможет поднять»?

Но вернемся к брадобрею, к его неразрешимой проблеме. Вы полагаете, что причина в том, «что отождествляются два разных термина «брить» и «бриться», что «первый антирефлексивный, второй – рефлексивный»».

Действительно, форма глагола «бриться» рефлексивна. Но неопределенная форма «брить» попросту не указывает, кого именно брить. Можно брить как Ваню, так и Маню. От того, кого именно «брить», никак не повлияет на смысл этого «брить». Я хочу сказать, что не вижу никакой разницы: можно брить, в том числе, и себя. Нет никакого парадокса между «брить Ваню, брить Маню, брить себя».

На мой взгляд, или, как Вы говорите, «фишка» в другом. Что говорит нам логика? А то, что закон непротиворечия возлагает ограничения на то, что А не может быть не-А: «А ≠ не-А». И, следовательно, противоречие есть: «А = не-А», либо «А ≠ А».

Теперь уже о брадобрее. Если вместо А подставить «брить», получим в форме тождества «брить – то же самое, что не брить» или в форме эквивалентности «брить тогда и только тогда, когда не брить». И напомню, как это парадокс изначально формулируется в книжке, из которой был он взят: «одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами».

Источником парадоксов является не самореференция, а самореференция с отрицанием! Именно самореференция с отрицанием лежит в основе парадоксов:

Парадокс брадобрея: брить = не брить.

Парадокс Ахиллеса и черепахи: догнать = не догнать.

Парадокс Эватла и Протагора: платить = не платить.

Парадокс всемогущества: может = не может.

Парадокс Рассела: быть элементом = не быть элементом (содержит = не содержит; принадлежит = не принадлежит)

Здравствуйте, Владимир!

Насчет законов логики, о которых Вы пишете, у меня нет возражений. Но надо все же учитывать, что парадокс – это логическое рассуждение, а раз так, то мы должны четко определиться в первую очередь с терминами, которые участвуют в этом рассуждении. В быту никто не запрещает нам слово «брить» понимать в широком смысле, а данный парадокс только указывает на то, что такое понимание в некоторых ситуациях приводит к противоречию.

В «математической» версии парадокса Рассела, как мне представляется, аналогичная ситуация. С самореференцией вопрос более сложный. Может быть, Вы и правы в том, что если допускается самореференция, то не допускается ее отрицание.

Но возможен и другой случай, когда в аксиомах логической системы самореференции нет, но в рамках этой системы можно построить модель с референцией, в которой отрицания допускаются. Извините, но в качестве примера я могу привести математическую модель полисиллогистики, которая описана в моей книге «Логика естественных рассуждений». Там в аксиоматике есть референция типа А=А, но нет циклов (используется один из вариантов частично упорядоченных множеств), но конкретные модели могут быть цикличными, а могут от А вести к не-А. В первом случае следует, что термины, входящие в цикл, эквивалентны, а во втором – что термин А представляет пустое множество. Примеры:

1) в рассуждении мы получили цикл, в который входят термины «существует», «известен», «подтверждается экспериментом», из чего следует, что эти термины эквивалентны. А поскольку это не так, то мы приходим к выводу, что в посылках ошибка.

2) в рассуждении мы получили цепочку от «мои друзья» к «не мои друзья». Поскольку цепочка моделирует отношение включения, то приходим к выводу, что «мои друзья» пустое множество.

Здравствуйте, Борис Александрович!

Я никак не смогу прокомментировать выводы Вашей книги, поскольку ее не читал, а в открытом доступе, как я понимаю, ее нет.

Вы написали, что «возможен и другой случай, когда в аксиомах логической системы самореференции нет, но в рамках этой системы можно построить модель с референцией, в которой отрицания допускаются». Прокомментирую. То, как определил источник всех парадоксов «А = не-А» – лишь самый простой случай. Если мы проследим, например, «Если А, то только В. Если В, то только С. Если С, то только не-А», то увидим всего лишь более завуалированную форму «А = не-А».

Здравствуйте, Борис Александрович!

Математика своим величием обязана тому, что не допускает противоречий в своих рассуждениях. Именно это преимущество позволяет предвидеть, делать однозначные выводы, избегать двусмысленности. И я целиком и полностью поддерживаю это стремление человеческого разума.

Но отсюда не следует, что противоречия нет. Вера математики во всесильность своего метода (в то, что все можно переопределить – исключить противоречия в принципе) ограничивает саму математику. Впрочем, пределы своего могущества обозначила сама же математика в лице Геделя теоремой о не полноте: если система полна, то она противоречива, а если не противоречива, то она не полна.