Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Стюарт Иэн

Но если я поверну треугольник на 120°, вы не заметите никакой разницы между «было» и «стало». Чтобы показать, что я имею в виду, я тайно помечу углы кружками различного типа, так что мы сможем следить за тем, что куда отправляется. Эти кружки — только для нашей ориентации, они не составляют часть структуры, которая должна быть сохранена. Если вы закрываете глаза на кружки, если наш треугольник настолько лишен свойств, насколько это полагается всякому добропорядочному эвклидову объекту, то повернутый треугольник выглядит в точности как исходный.

Поворот на 120° является симметрией равностороннего треугольника.

Другими словами, поворот на 120° есть симметрия равностороннего треугольника. Преобразование (поворот) сохраняет структуру (форму и расположение).

Оказывается, что у равностороннего треугольника имеется ровно шесть различных симметрий. Вторая — это поворот на 240°. Еще три — отражения, под действием которых один из углов треугольника остается на месте, а два других меняются местами. А в чем состоит шестая симметрия? В неделании ничего: оставьте треугольник в покое. Это тривиально, однако же удовлетворяет условиям, требуемым от симметрии. На самом деле это преобразование удовлетворяет определению симметрии вне зависимости от того, какой объект рассматривается и какое свойство должно сохраняться. Если ничего не делать, то ничего и не меняется.

Эта тривиальная симметрия называется тождественной. Она может показаться не очень важной, но если от нее отказаться, то вся математика пойдет вкривь и вкось. Происходящее будет похоже на выполнение сложения чисел в отсутствие нуля или умножения в отсутствие единицы. Если же мы включаем тождественное преобразование, то все хорошо.

Шесть симметрий равностороннего треугольника.

Для равностороннего треугольника можно представлять себе единичный элемент как вращение на 0°. На рисунке изображены результаты применения шести симметрий к нашему равностороннему треугольнику. Это в точности шесть различных способов, которыми вырезанный из картона и вынутый из плоскости треугольник можно наложить на его исходное положение. Пунктирные линии показывают, где надо расположить зеркало, чтобы получить требуемое отражение.

Теперь я собираюсь убедить вас в том, что симметрии — это часть алгебры. Для этого я сделаю то же, что сделал бы любой алгебраист: выражу все в символах. Обозначим шесть симметрий буквами I, U, V, P, Q, R согласно приведенному выше рисунку. Единичный элемент — это I; два другие вращения суть U и V, а три отражения — P, Q и R. Те же самые символы я использовал выше для перестановок корней кубического уравнения. Для этого есть причина, которая, более того, скоро станет явной.

Галуа по максимуму использовал «групповое свойство» своих перестановок. Если применить любые две из них по очереди, то получится какая-то другая. Отсюда следует мощный намек на то, что нам следует делать с нашими шестью симметриями. Мы попарно «перемножим» их и посмотрим, что получится. Напомним соглашение: если X и Y — два преобразования симметрии, то произведение XY — это то, что получается, когда сначала применяется Y, а потом X.

Пусть, например, мы желаем узнать, что такое VU. Это означает, что сначала к треугольнику применяется U, а потом V. И вот U осуществляет вращение на 120°, а V затем вращает получающийся треугольник на 240°. Тем самым VU осуществляет вращение на 120° + 240° = 360°.

Ой, мы забыли включить это вращение.

Нет, не забыли! Если повернуть треугольник на 360°, то все вернется в точности туда, где было. А в теории групп важен конечный результат, а не путь, которым к нему пришли. На языке симметрий две симметрии считаются одинаковыми, если они приводят к одному и тому же конечному состоянию объекта. Поскольку VU дает тот же эффект, что тождественное преобразование, мы заключаем, что VU = I.

В качестве второго примера рассмотрим, что делает UQ. Преобразования выполняются следующим образом:

Как симметрии равностороннего треугольника соответствуют перестановкам.

Мы видим, чему равен результат перемножения симметрий: он равен P. Значит, UQ = P.

Из наших шести симметрий можно можно образовать тридцать шесть произведений, а вычисления можно свести в таблицу умножения. Получается в точности та же таблица, которая у нас была для шести перестановок корней кубического уравнения.

Обнаруженное совпадение дает пример одного из наиболее мощных методов во всей теории групп. Его истоки — в работах французского математика Камиля Жордана, до известной степени превратившего теорию групп из метода анализа решений уравнений в радикалах в самостоятельный предмет.

Около 1870 года Жордан привлек внимание к тому, что сейчас называют теорией представлений. Для Галуа группы были составлены из перестановок — способов перетасовки символов. Жордан начал задумываться о способах перетасовки более сложных пространств. Среди наиболее фундаментальных пространств в математике имеются многомерные пространства, а их самое важное свойство состоит в существовании прямых линий. Естественный способ преобразования такого пространства состоит в том, чтобы прямые линии оставались прямыми. Никаких изгибов, никаких скручиваний. Имеется много преобразований такого рода — вращения, отражения, изменения масштаба. Все они называются линейными преобразованиями.

Английский юрист и математик Артур Кэли открыл, что любое линейное преобразование можно связать с матрицей — квадратной таблицей из чисел. Любое линейное преобразование трехмерного, например, пространства можно задать, записав таблицу размером 3 на 3 из вещественных чисел. Так что преобразования можно свести к алгебраическим вычислениям.

Теория представлений позволяет начать с группы, которая не состоит из линейных преобразований, и заменить ее некоторой группой, состоящей из линейных преобразований. Преимущество конвертации группы в группу матриц состоит в том, что матричная алгебра является очень глубокой и мощной, и Жордан был первым, кто это увидел.

Взглянем на симметрии треугольника с Жордановой точки зрения. Вместо размещения разных кружков по углам треугольника я расставлю там символы a, b, c, соответствующие корням общего кубического уравнения. Тогда становится очевидным, что каждая симметрия треугольника также переставляет эти символы. Например, вращение U отправляет abc в cab.

Шесть симметрий треугольника естественно соответствуют шести перестановкам корней a, b, c. Более того, произведение двух симметрий соответствует произведению соответствующих перестановок. Но вращения и отражения в плоскости являются линейными преобразованиями — они сохраняют прямые линии. Так что мы по-другому интерпретировали группу перестановок — представили ее — как группу линейных преобразований, или, что то же самое, как некую группу матриц. Этой идее предстояло привести к глубоким следствиям как в математике так и в физике.

Глава 8

Посредственный инженер и трансцендентный профессор

Симметрия перестала быть туманным ощущением скрытого порядка или художественным восприятием изящества и красоты. Она превратилась в ясную математическую концепцию со строгим логическим определением. Появилась возможность вычислять симметрии и доказывать о них теоремы. Родился новый предмет — теория групп. Погоня человечества за симметрией достигла поворотной точки. В качестве платы за вход в сообщество посвященных требовалась готовность мыслить более концептуально. Концепция группы носила абстрактный характер, на несколько шагов удаленный от традиционного «простого продукта», состоящего из чисел и геометрических форм.