Пятьсот двадцать головоломок - Генри Дьюдени

11. Фермер купил 19 коров за 950 долларов, 1 овцу за 10 долларов и 80 кроликов за 40 долларов, что составляет в совокупности 100 голов общей стоимостью в 1000 долларов. Арифметически задачу нетрудно решить с помощью метода средних: средняя стоимость одной головы скота та же, что и стоимость одной овцы.

Алгебраически задачу можно решить следующим образом. Поскольку x + y + z = 100, то ½x + ½y + ½z = 50.

(цены даются в долларах), или 99x + 19y = 1900. Итак, задача сводится к решению неопределенного уравнения. Единственный[28] набор x и y, удовлетворяющий этому уравнению, имеет вид x = 19, y = 1. Чтобы общее число голов равнялось 100, z должно быть равно 80.

12. Все семь торговок продавали яблоки по 1 центу за 7 штук: в тех случаях, когда оставшихся яблок оказывалось менее семи, их придавали по 3 цента за штуку. Таким образом, каждая торговка выручила по 20 центов. Не оспаривая ни в коей мере остроумия этой задачи, я всегда считал ее решение неудовлетворительным из-за его неопределенности, даже если допустить, что при таком эксцентричном способе торговли можно в полном смысле слова говорить о единой «цене» на яблоки. С тем же успехом мы могли бы считать, что торговки продают яблоки по одной цене, но с разными скидками; продают яблоки разных сортов по разным ценам; продают по одной цене за корзину, продают на вес, в то время как яблоки имеют разную величину, сбавляют цену с менее свежих яблок и т. д.

В общем случае можно сказать, что п торговок, у которых имеется соответственно na + (n - 1), n(a + b) + (n- 2), n(a + 2b) + (n- 3), ..., n[a + b(n- 1)] яблок, могут продавать их кучками по n штук на 1 цент, а оставшиеся яблоки — по b центов за штуку, причем каждая из торговок получит выручку в a + b(n - 1) центов. В случае нашей задачи a = 2, b = 3, n = 7.

13. Старший сын получил в наследство 55 долларов, средний — 275, младший — 385 и госпиталю была завещана сумма 605 долларов, что вместе составляет 1320 долларов.

14. В наследство оставлено 1464 доллара (немного меньше чем 1500). Доли каждого из пяти детей равны соответственно 1296, 72, 38, 34 и 18 долларам. Гонорар нотариуса составляет 6 долларов.

15. Доли Альфреда и Бенджамина равны соответственно 24 и 76 долларам. Действительно, если 8 (одна треть от 24) вычесть из 19 (одна четверть от 76), то останется 11.

16. Сумма 2500 долларов, которую внес в дело Роджерс, очевидно, составляет третью часть всего капитала, который, таким образом, до его вступления в долю равнялся 7500 долларам. Следовательно, пай Смага составлял 4500 долларов (в 1½ раза больше, чем пай Вильямсона), а пай Вильямсона — 3000 долларов. Поскольку их паи должны стать одинаковыми, Смаг получит из взноса Роджерса 2000 долларов, а Вильямсон — 500 долларов.

17. У Томкинса, когда он вышел из дому, было с собой 2 доллара 10 центов.

18. Наименьшая сумма (в центах), которая могла быть у одного из участников вечера, должна на единицу превышать число участников. Суммы, принадлежащие остальным участникам, можно найти последовательным удвоением и вычитанием 1. Следовательно, мы получим 10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153 и 2305 центов. Пусть тот, у кого больше всего денег, начинает первым. Тогда в конце у каждого участника останется по 29 (512) центов, то есть по 5 долларов 12 центов.

19. Продавец при каждом снижении сбавлял цену на ⅜ стоимости мотоцикла. Следовательно, при очередном снижении он предложит цену 156 долларов 25 центов.

20. Задача сводится к решению неопределенного уравнения 344x = 265y + 33. Методы решения таких уравнений известны достаточно хорошо, поэтому мы не будем на них останавливаться. Решив уравнение, найдем, что x = 252 и y = 327. Итак, если торговец купит 252 лошади по 344 доллара и 327 волов по 265 долларов, то лошади обойдутся ему на 33 доллара дороже, чем волы.

21. Было куплено 75 индюков по 80 центов за штуку на общую сумму 60 долларов. Оставив себе 15 птиц, фермер продал оставшихся 60 индюков по 90 центов за штуку, всего на сумму 54 доллара, как и требовалось. Таким образом, он получил по 10 центов прибыли с каждой из перепроданных 60 птиц.

22. Бакалейщик отложил на черный день 168 бумажных долларов, 168 монет по полдоллара и 168 монет по четверти доллара на общую сумму 294 доллара. В каждом из шести мешков должно быть по 28 денежных знаков каждого типа; в каждом из семи мешков — по 24 и в каждом из восьми мешков — по 21 денежному знаку каждого типа.

23. Объяснение простое. Каждый способ продажи приведет к одинаковым результатам лишь в том случае, если число яблок, проданных по три штуки на цент, будет относиться к числу яблок, проданных по две штуки на цент, как 3 к 2.

Так, например, если бы у первой торговки осталось 36 яблок, а у второй 24, то выручка составила бы 24 цента вне зависимости от того, продали бы они эти яблоки сами или это сделала бы их подруга. Однако если они отдадут подруге по равному числу яблок, то потеря в выручке составит 1 цент на каждые 60 штук. Таким образом, если бы они оставили подруге по 60 штук, то потеряли бы на этом 2 цента. Если бы они дали ей 180 штук (по 90 каждая), то потери составили бы 3 цента и т. д.

Утрата одного цента в нашем случае происходит по той причине, что торговка, продававшая по три яблока на цент, выигрывает 2 цента, а та, которая продавала по два яблока на цент, теряет 3 цента.

Возможно, самым справедливым было бы поделить выручку в 24 цента, дав первой торговке 9½ цента, а второй 14½ цента, то есть так, чтобы каждая потеряла по ½ цента на всей операции.

24. Общая сумма взносов, выраженная в центах, равна 300 737. Это число представимо в виде произведения двух простых сомножителей: 311 и 967. Поскольку нам известно, что в Лиге Красной Смерти не более 500 членов, то число членов равно 311, а взнос составляет 967 центов, или 9 долларов 67 центов.

Других решений быть не может.

25. Цыпленок стоит 2 доллара, утка 4 и гусь 5 долларов.

26. У каждого мальчика вначале было 12 центов, и он дал по 1 центу каждой девочке. У каждой девочки было 36 центов, из которых она дала по 3 цента каждому мальчику. После этого у всех детей стало по 18 центов.

27. Костюм Мелвилла стоил 150 долларов, причем пиджак стоил 75, брюки 50 и жилет 25 долларов.

28. У Ричарда было 4 доллара, а у Джона — 2 доллара 50 центов.

29. Сотня яблок стоила 96 центов.

30. По истечении 18 лет капитал равнялся 22 781 доллару 25 центам.

31. Поскольку одна и та же фальшивая банкнота участвовала во всех операциях, то все они оказались недействительными. Следовательно, каждый остался по отношению к своему должнику в том же положении, что и до того момента, как банкир нашел банкноту. Кроме того, мясник еще должен фермеру 5 долларов за теленка[29].

32. Тому 7 лет, а Мэри 13 лет.

33. Миссис Вильсон 39 лет, Эдгару — 21, Джеймсу — 18, Джону — 18, Этель — 12, Дейзи 9 лет. Ясно, что Джеймс и Джон — одногодки.

34. Де Морган родился в 1806 г. Когда ему было 43 года, то текущий год равнялся квадрату его возраста — 1849. Дженкинс родился в 1860 г. Ему было 52 + 62 (61) лет в 54 + 64 (1921) году. В 2 × 312 (1922) году ему исполнилось 2 × 31 (62) года. И, наконец, его возраст был равен 3 × 5 (15) годам в 3 × 54 (1875) году.

35. Больным было соответственно 64 и 20 лет.

36. Демохар прожил 60 лет.

37. Отцу и матери было по 36 лет, а трое детей были шестилетними близнецами. Суммарный возраст равен как раз 90 годам, и все остальные условия задачи также выполнены.

38. Майку сейчас 1, Пэту 29, и Бидди 24 года. Когда Пэт под окном своей гостиной построил свинарник (7 года назад), Майку было 3, Пэту 22 и Бидди 17 года. Через 11 года Майку будет 22 (столько, сколько было Пэту, когда он построил свинарник). Пэту будет 41 и Бидди 36 года, что в сумме составит 100 лет.

39. 30 и 12 лет.

40. Мальчику 10, а сестре 4 года.

41. Детям было соответственно 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 лет, а отцу 48 лет.

42. Человек родился в 1856 г. и умер в 1920 г., достигнув возраста 64 лет. Пусть x — возраст в момент смерти. Тогда 29x — дата рождения. Дата рождения плюс возраст составят дату смерти: 29x + x = 30x. Далее, из условия задачи ясно, что человек был жив в 1900 г. и умер к 1930 г. Поэтому смерть произошла между этими датами, а поскольку дата равна 30x:, то она делится на 30. Следовательно, этой датой может быть только 1920 г., что при делении на 30 дает 64. Итак, в 1900 г. человеку было 44 года.