Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

В написанном Карлом Саганом бестселлере «Контакт» инопланетянин предупреждает женщину на Земле, что после определенного количества цифр случайность в числе π исчезнет и там появится сообщение, записанное нулями и единицами. Это послание появится после десятичного разряда с номером 1020 — что представляет собой единицу с двадцатью нулями. Поскольку к настоящему моменту мы добрались «только» то 2,7 триллиона разрядов (число 27 с и нулями), то надо еще немного постараться, чтобы проверить, действительно ли там есть что-то в этом роде. На самом деле придется продвинуться даже еще чуть дальше, потому что послание, по-видимому, записано в 11-ричной системе.

Мысль о том, что в числе π есть закономерность, способна любому вскружить голову. Математики стали выискивать какие-либо указания на порядок в десятичных разложениях числа π, как только они появились. Иррациональность π означает, что цифры следуют друг за другом без какого-либо повторяющегося порядка, но это не исключает возможности появления упорядоченных кусков — таких, как послание, записанное нулями и единицами. До сих пор, однако, никто не нашел ничего важного. Хотя, надо сказать, у π есть свои причуды. Первый 0 появляется только на 32-м месте, что намного позже, чем можно было бы ожидать, коль скоро цифры распределены случайно. Первый раз, когда какая-либо цифра повторяется шесть раз подряд, наступает на 762-м десятичном знаке (и это 999 999). Вероятность столь раннего повторения шести девяток — если их появление случайно — меньше 0,1 процента. Эта последовательность известна как точка Фейнмана — выдающийся физик Ричард Фейнман однажды заметил, что хотел бы запомнить число π именно до этого места и закончить словами «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее». Следующий раз, когда последовательно выпадают шесть одинаковых цифр, случается на 193 034-м месте, и цифры эти — снова девятки. Не послание ли это извне, и если да — то о чем оно?

Число считается нормальным, если каждая из его цифр от 0 до 9 появляется в его десятичном разложении с равной частотой. Нормально ли π? Канада изучил первые 200 миллиардов цифр числа π и нашел, что цифры появляются со следующими частотами:

0 20 000 030 841 1 19 999 914 711 2 20 000 136 978 3 20 000 069 393 4 19 999 921 691 5 19 999 917 053 6 19 999 881 515 7 19 999 967 594 8 20 000 291 044 9 19 999 869 180

Только цифра 8 кажется несколько избыточной, однако отличие статистически несущественно. Казалось бы, число π нормально, но никто не смог этого доказать. И никто не смог доказать, что такое доказательство невозможно. Поэтому есть шанс, что π не нормально. Быть может, вслед за 1020 знаками и правда идут только 0 и 1?

Другой, но связанный с предыдущим вопрос — это вопрос о положении чисел. Распределены ли они случайно? Стэн Вейгин проанализировал первые 10 миллионов цифр числа π на «покерный тест»: возьмем пять последовательных цифр и рассмотрим их, как если бы это были карты, сданные вам при игре в покер.

Расклад Реальная частота события Ожидаемая частота события Все цифры различны 604 976 604 800 Одна пара, три различны 1 007 151 1 008 000 Две пары 216 520 216 000 Три одинаковые 144 375 144 000 Фулл хаус 17 891 18 000 Четыре одинаковые 8887 9000 Пять одинаковых 200 200

В правом столбце показано, сколько раз можно было бы ожидать появления того или иного расклада, если число π нормально и если на каждой десятичной позиции с равным шансом могла бы стоять любая цифра. Результаты оказываются вполне в границах ожидаемого. Видно, что каждый расклад чисел появляется с правильной частотой, как было бы, если бы числа на каждой десятичной позиции генерировались случайным образом.

Имеются веб-сайты, на которых можно узнать, когда в числе π впервые появляется дата вашего рождения. Первое появление последовательности 0123456789 происходит на 17 387 594 880-м месте — что было установлено только после того, как Канада добрался туда в 1997 году.

Я спросил у Грегори, полагал ли он когда-либо, что в числе π может найтись какой-то порядок.

— Нет там никакого порядка, — бросил он довольно презрительно. — А если бы он там и был, то это было бы ненормально и неправильно. Так что нет смысла тратить на это время.

Вместо того чтобы искать закономерности в числе π, некоторые воспринимают его случайную природу как колоссальное выражение математической красоты. Число π — предопределенное, но при этом оно, по-видимому, необычайно хорошо имитирует случайность.

— Это очень хорошее случайное число, — соглашается Грегори.

Вскоре после того знаменательного вычисления числа π братьям Чудновски позвонили из правительства Соединенных Штатов. Дэвид изобразил визгливый голос на другом конце провода: «Не будете ли вы столь любезны прислать нам пи?»

Случайные числа нужны в промышленности и торговле. Пусть, например, некой компании, занимающейся исследованием рынка, требуется сделать опрос среди представительной выборки тысячи людей из населения в миллион. Компания использует генератор случайных чисел, чтобы создать группу выборки. Чем лучше этот генератор производит случайные числа, тем более представительной будет выборка — и тем более точным будет опрос. Подобным же образом последовательности случайных чисел требуются для симуляции непредсказуемых сценариев при тестировании компьютерных моделей. Чем более случайны числа, тем более надежны результаты теста. На самом деле возможны серьезные ошибки, если применяемые для проверки случайные числа недостаточно случайны.

— Ты хорош лишь настолько, насколько хороши твои случайные числа, — замечает Дэвид.

— Ты используешь жуткие случайные числа, но в конце концов все равно оказываешься в жуткой ситуации, — заключает Грегори.

Среди всех множеств доступных случайных чисел десятичное разложение числа π — наилучшее.

Здесь, однако, таится некий философский парадокс. Пи, со всей самоочевидностью, не случайно. Его цифры могут вести себя как будто они случайны, но на самом деле они предопределены. Например, если бы цифры в числе π были случайны, то шанс, что первая цифра после десятичной запятой будет равна 1, был бы равен всего 10 процентам. Однако же мы с абсолютной определенностью знаем, что там стоит 1. π проявляет случайность не случайно — что само по себе и захватывающе, и фатально.

π — это математический концепт, который изучался тысячи лет, и тем не менее хранит в себе множество тайн. В течение почти полутора столетий, прошедших после доказательства его трансцендентности, большого прогресса в понимании природы π не наблюдалось.

— По сути дела большая часть того, что там творится, нам неизвестна, — говорит Грегори.

Я спросил, можно ли ожидать какого-либо прогресса в отношении нашего понимания того, что же такое число π.

— А то как же! — восклицает Грегори. — Прогресс неостановим. Математика движется вперед.

— Это будет что-то совершенно фантастическое, но это будет здорово, — подытоживает Дэвид.

Глава 5

x-фактор

Автор объясняет, почему числа — это хорошо, но буквы — лучше. Он наносит визит в английскую деревню, где встречает человека, собирающего логарифмические линейки, и выслушивает трагическую историю об их вымирании.

Математики питают определенную склонность к волшебным фокусам. Подобные фокусы бывают забавными, а нередко скрывают за собой интересную теорию. Вот классический фокус, одновременно представляющий собой отличный способ оценить силу и достоинства алгебры. Начнем с того, что выберем любое трехзначное число, в котором первая и последняя цифры отличаются по крайней мере на два — например, 753. Теперь запишем эти же цифры в противоположном порядке: получим 357. Вычтем меньшее число из большего: 753 - 357 = 396. И наконец, сложим полученное число с тем, что получается из него перестановкой цифр в обратном порядке: 396 + 693. Сумма, которая при этом получается, равна 1089.