1. Современная наука о природе, законы механики - Ричард Фейнман

В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ — это по­смотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой се­кунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, каза­лось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в сред­нем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но в дейст­вительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы опре­делить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где-то по­средине. Наша задача вычислить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек, Полное расстояние, пройденное за это время, составляет

s=5·5,0012 = 5·25,010001=125,050005 м.

Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t0(например, 5 сек). Расстояние, которое прой­дено к моменту t0 (назовем его s0), будет 5t20(в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t0+ (небольшой добавок), или t0+e? Новое положение тела будет 5(t0+e)2=5t20+10t0e+5e2. (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t0 сек, т. в. больше 5t20.)Назовем это расстояние s0+ (не­большой добавок), или s0+x. Если теперь вычесть из него рас­стояние, пройденное к моменту t0, то получим х — то дополни­тельное расстояние, которое шарик прошел за добавочное вре­мя e, т. е. x=10t0e+5e2. Так что в первом приближении ско­рость будет равна

v=x/e=10t0+5e. (8.4)

Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить ско­рость точно в момент t0: нужно брать отрезок e все меньше и меньше, т. е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравне­ния (8.4) получим

v (в момент t0)=10t0,

В нашей задаче t0=5 сек, следовательно, скорость равна v=10·5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда e бралось равным 0,1 и 0,001 сек, получалась несколько большая величина, чем 50 м/сек, но теперь мы видим, что в действитель­ности она в точности равна 50 м/сек.

§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин e и x: было придумано специальное обозначение: e обозначается как Dt, а х — как Ds. Величина Dt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать мень­ше. Значок D ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sinq не означает s·i·n·q. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок D напоми­нает нам о его особом характере. Ну, а если D не множитель, то его нельзя сократить в отношении Ds/Dt. Это все равно, что в выражении sinq/sin2q сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Ds/Dt при Dt, стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно ве­личины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хоро­шей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скоро­сти, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Ds=vDt. Это правило строго справедливо толь­ко тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Dt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Dt доста­точно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени Dt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Dt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Ds = vDt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подра­зумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях вы­ражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный про­цесс нахождения производной называется, кроме того, диффе­ренцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t2, или просто производную от 5t2. Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте най­дем производную более сложной функции. Рассмотрим выра­жение s=At3+Bt+C, которое может описывать движение точ­ки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравне­нии, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+Dt, причем к s прибавится некоторая добавка Ds, и найдем, как выражается Ds через Dt. Поскольку

s+Ds=A(t+Dt)2+В (t+Dt)+С =At3+Bt+С+ЗAt2Dt+ВDt+3At (Dt)2+A(Dt)3

а

s=At3+Bt+C,

то Ds=3At2Dt+BDt+3At(Dt)2+A(Dt)3.

Но нам нужна не сама величина Ds, а отношение Ds/Dt. После деления на Dt получим выражение

Ds/Dt= 3Ats+В+3At(Dt)+A(Dt)3, которое после устремления Dt к нулю превратится в

Ds/Dt=3'At2+B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференциро­вания функций. На самом деле он несколько легче, чем это ка­жется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, по­добных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Dt)2 или (Dt)3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Dt устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.

Таблица 8.3 · некоторые производные

s, u, v, w — произвольные функции;

а, b, с, n — произвольные постоянные.

§ 4. Расстояние как интеграл

Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено?

Таблица 8.4 · скорость падающего шара

Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у свето­фора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет v1 , тогда по формуле Ds= v1Dt можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В ре­зультате мы получим много маленьких отрезков, которые в сум­ме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой ско­ростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s = SvDt,где греческая буква S (сигма) означает сумми­рование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые мо­менты времени, скажем ti, умноженные на Dt: