Занимательный космос. Межпланетные путешествия - Яков Перельман

Таким же образом может быть вычислена сила взаимного притяжения и двух линейных кораблей, разделенных расстоянием в 1 км. Масса каждого корабля равна 25 000 т = 25 000 000 000 г; расстояние равно 100 000 см. Поэтому взаимное притяжение равно:

Так как 1000 дин = 1 г, то 4200 дин равны примерно 4 г.

2. Падение в мировом пространстве

Полет пушечного снаряда Жюля Верна на Луну можно рассматривать как случай падения тела в мировом пространстве под влиянием силы тяготения. Поэтому, прежде чем рассматривать условия его полета, полезно рассмотреть следующую задачу из области небесной механики.

Во сколько времени упал бы на Солнце земной шар, если бы от какой-нибудь причины прекратилось его движение по орбите?

Задачи подобного рода легко разрешаются на основании третьего закона Кеплера: квадраты времен обращения планет и комет относятся как кубы их средних расстояний от Солнца; среднее же расстояние от Солнца равно длине большой полуоси эллипса. В нашем случае мы можем земной шар, падающий прямо на Солнце, уподобить воображаемой комете, движущейся по сильно вытянутому эллипсу, крайние точки которого расположены: одна – близ земной орбиты, другая – в центре Солнца. Среднее расстояние такой кометы от Солнца, т. е. большая полуось ее орбиты, очевидно, вдвое меньше среднего расстояния Земли. Вычислим, каков должен был бы быть период обращения этой воображаемой кометы. Составим, на основании третьего закона Кеплера, пропорцию:

Период обращения Земли равен 365 суткам; среднее расстояние ее от Солнца примем за единицу, и тогда среднее расстояние кометы выразится через 1/2. Пропорция принимает вид:

Откуда

или

Но нас интересует не полный период обращения этой воображаемой кометы, а половина периода, т. е. продолжительность полета в один конец – от земной орбиты до Солнца: это и есть искомая продолжительность падения Земли на Солнце. Она равна

Итак, чтобы узнать, за сколько времени Земля упала бы на Солнце, нужно продолжительность года разделить на 

, т. е. на 5,6. Легко видеть, что полученное простое правило применимо не к одной только Земле, но и ко всякой другой планете и ко всякому спутнику. Иначе говоря, чтобы узнать, за сколько времени планета или спутник упадут на свое центральное светило, нужно период их обращения разделить на 

, т. е. на 5,6. Меркурий, обращающийся за 88 дней, упал бы на Солнце за 15,5 дней; Сатурн, период обращения которого равняется 30 нашим годам, – падал бы на Солнце в течение 5,5 лет. А Луна упала бы на Землю за 27,3: 5,6, т. е. за 4,8 суток. И не только Луна, но и всякое вообще тело, находящееся от нас на расстоянии Луны, падало бы к Земле в течение 4,8 суток (если только ему не сообщена начальная скорость, а падает оно, подчиняясь лишь действию одного земного притяжения).

Здесь мы вплотную подходим к задаче Жюля Верна. Легко понять, что столько же времени должно лететь на Луну всякое тело, брошенное с Земли на Луну с такою скоростью, чтобы пройти как раз расстояние до Луны. Значит, алюминиевый снаряд Жюля Верна должен был бы лететь около 5 суток, если бы его хотели закинуть на расстояние Луны.

Однако члены Пушечного клуба рассчитывали закинуть снаряд не прямо на Луну, а только до той точки между Землей и Луной, где силы притяжения обоих светил уравниваются: отсюда снаряд сам уже упал бы на Луну, притягиваемый ею. Эта «нейтральная» точка находится на 0,9 расстояния от Земли.

Вычисление, следовательно, несколько усложняется. Во-первых, нужно вычислить, за сколько времени снаряд долетел бы до 0,9 расстояния между Землей и Луной, или, что то же самое, за сколько времени тело с этого расстояния упало бы на Землю; во-вторых, надо определить продолжительность падения тела от этой нейтральной точки до Луны.

Для решения первой задачи представим себе, что на 0,9 расстояния от Земли до Луны обращается вокруг нашей планеты небесное тело, и вычислим период обращения этого воображаемого спутника Земли. Обозначив неизвестный период обращения через х, составляем, на основании третьего Кеплерова закона, пропорцию

отсюда искомый период обращения 

Разделив этот период на 

, т. е. на 5,6, мы, согласно выведенному ранее правилу, получим время перелета снаряда от Земли до нейтральной точки: 23,3: 5,6 = 4,1 суток.

Вторую задачу решаем сходным образом. Чтобы вычислить, за сколько времени снаряд упал бы с расстояния нейтральной точки до Луны, нужно сначала определить, за сколько времени снаряд, находясь на том же расстояний от Луны, совершил бы вокруг нее полный оборот. Радиус орбиты этого воображаемого спутника Луны равен 0,1 радиуса лунной орбиты, а масса центрального светила (в данном случае Луны), в 81 раз меньше массы Земли. Если бы масса Луны равнялась земной, то спутник, обращаясь на среднем расстоянии вдесятеро меньшем, чем лунное, совершил бы полный оборот в период у, легко вычисляемый по закону Кеплера:

откуда

Но так как масса, а следовательно, и притягательное действие центрального светила в данном случае в 81 раз меньше, чем в системе Земли, то время обращения снаряда спутника будет дольше. Во сколько раз? Из механики мы знаем, что центростремительное ускорение пропорционально квадрату скорости. Здесь это ускорение (производимое притяжением Луны) меньше в 81 раз, – следовательно, скорость движения снаряда по орбите должна быть меньше в 

раз, т. е. в 9 раз. Другими словами, снаряд в роли лунного спутника должен обегать кругом Луны в 9 раз медленнее, чем он обходил бы на таком же расстоянии вокруг Земли. Значит, искомое время обращения равняется:

Чтобы получить продолжительность падения снаряда от нейтральной точки до Луны, нужно, как мы уже знаем, найденный сейчас период его обращения (7,77) разделить на 

, т. е. на 5,6; получим 1,4 суток, а точнее – 33,5 часа [48] .

Итак, весь перелет пушечного снаряда от Земли до Луны должен был бы длиться 4,1 + 1,4 суток = 5,5 суток.

Однако это не вполне точный результат: здесь не принято во внимание то обстоятельство, что и при полете от Земли до нейтральной точки снаряд подвергается притягательному действию Луны, которое ускоряет его движение; с другой стороны, при падении на Луну он испытывает на себе замедляющее действие земного притяжения. Последнее действие должно быть особенно заметно и, как показывает более точное вычисление (по формуле, приведенной ниже), примерно вдвое увеличило бы продолжительность падения снаряда от нейтральной точки до Луны. Благодаря этим поправкам общая продолжительность перелета снаряда от Земли до Луны с 5,5 суток возрастает до 7 суток. В романе продолжительность перелета определена «астрономами Кэмбриджской обсерватории» в 97 час 13 мин 20 с, т. е. в 4 с небольшим суток, вместо 7 суток. Жюль Верн ошибся на трое суток. Ошибка произошла от того, что романист (или лицо, производившее для него расчеты) преуменьшил время падения снаряда от нейтральной точки до Луны: оно определено всего в 13 час 53 мин, между тем как это падение должно было совершиться гораздо медленнее и отнять 67 часов.

Если тело падает без начальной скорости с весьма большого расстояния Н не до центра притяжения, а до некоторого расстояния h, то продолжительность t (в секундах) такого падения вычисляется по следующей формуле, которая выводится в курсах интегрального исчисления:

Здесь  H и h имеют указанные выше значения, R — радиус планеты, а — ускорение тяжести на ее поверхности. По этой формуле вычисляется также продолжительность взлета тела от расстояния h до расстояния Н, где оно должно утратить всю свою скорость.

Для примера вычислим продолжительность взлета тела, брошенного с земной поверхности на высоту земного радиуса. В этом случае Н = 2R; h = R; а = g = 9,8; R= 6370.

Имеем продолжительность взлета:

Значит, ракета, пущенная вверх на расстояние земного радиуса, должна возвратиться через 69 минут.

3. Динамика ракеты

Для понимания дальнейшего необходимо отчетливо уяснить себе некоторые теоремы механики, относящиеся к «количеству движения» и к «центру тяжести». Предпосылаем поэтому нашему изложению небольшую главу из «Курса физики» Гримзеля, где положения эти разъяснены весьма наглядно и с достаточной полнотой.

___________________________________

Импульс. Количество движения

Сохранение движения центра тяжести

«Сила Р сообщает свободной массе т ускорение а, которое определяется из уравнения Р = та. Если сила Р постоянна, то и ускорение, постоянно, т. е. движение – равномерно-ускоренное. Если постоянная сила Р действует на массу т в течение времени t, то она сообщает ей скорость V = at. Чтобы оценить действие силы Р за время t, мы умножим выражение силы Р = та на t. Мы получим равенство Р · t = т · v.

Произведение Р · t называется импульсом силы Р за время t. Произведение т · v называется количеством движения массы т, движущейся со скоростью v. Импульс силы равен количеству движения массы, приведенной в движение этой силой.