Диалоги (ноябрь 2003 г.) - Александр Гордон

Каскад – это совершенно универсальное явление, в любом типе турбулентности всегда есть каскад.

А.Г. И в вихревом, и в волновом?

В.З. И в вихревом, и в волновом. В случае вихревой турбулентности есть вопрос, который до сих пор не имеет ответа – где этот каскад, как эта диссипация энергии распределена в пространстве? То есть, является ли она более или менее равномерной во всем объеме, либо наоборот – возникают какие-то маленькие зоны, где энергия главным образом и диссипирует. Колмогоров утверждал (хотя вряд ли он ясно себе это представлял, но неявным образом в его теории заключена такая идея), что это происходит равномерно. Тогда этот вопрос не задавали еще, но если бы его спросили, он бы, наверное, так и ответил, что «да, происходит равномерное распределение». Если, скажем, нарисовать диссипирующую энергию в виде светящейся материи, то это будет равномерное покрытие, распределение. А альтернативная точка зрения, что наоборот будут происходить отдельные вспышки, в которых диссипирует энергия.

Но как на самом деле – никто не знает. И этот вопрос настолько важен, что сейчас установлена премия в миллион долларов тому, кто его решит. Он переформулирован на математическом языке как вопрос о существовании особенностей в уравнении Навье-Стокса. Потому что если есть такая особенность, то это как раз и есть место, где происходит диссипация энергии. Множество народу стремится его решить. Этот вопрос является одной из десяти проблем, за которую в математике назначена такая награда. Уже года 3 как произошло, но пока она никому не вручена.

Так что волновая турбулентность значительно проще, вихревая турбулентность – гораздо более трудная проблема. И в ней действительно на эти вопросы нет пока ответа. Это связано с проблемой коллапса в гидродинамике, то есть с вопросом о возникновении особенностей: могут ли возникать такие точки, в которых завихренность обращается в бесконечность. Это вопрос открытый и чрезвычайно важный. Есть много соображений, но пока окончательно вопрос не решен. Кроме того, стоит проблема чрезвычайно трудного численного счета.

А.Г. То есть там возникает сингулярность…

В.З. Да, возникает сингулярность или нет – это вопрос, на который в области изучения вихревой турбулентности нет ответа. А в волновой турбулентности, к счастью, все значительно проще. Там можно построить замкнутую математическую теорию. И спектры, определяющие каскады энергии, найти аналитически точно, показать, что они суть точные решения неопределенных уравнений, исследовать потом их устойчивость, сравнить с экспериментом. Это все сделано и это, конечно, очень существенное достижение. Там тоже бывают сингулярности. Скажем, в этих волнах, которые мы видим, возникает волна очень большой амплитуды. Я думаю, это какая-нибудь волна из тех, что называется «freakwaves», «странные волны», которые иногда возникают. Это тоже совершенно открытый вопрос. О нем я чуть позже скажу.

Если вы посмотрите на море, скажем, при достаточно малой скорости ветра, грубо говоря, 6 метров в секунду (если скорость меньше 6-ти метров в секунду, то море гладкое, и на нем никаких барашков нет). А когда скорость ветра увеличивается, на море начинают появляться отдельные белые зоны, это зоны, в которых уже происходит переход от слабой турбулентности к сильной, то есть возникают эти опрокидывания волн, и в нем, конечно, локально очень большая диссипация. То есть на поверхности жидкости диссипация несомненно распределена неравномерно, распределена в отдельных случайных точках. Когда потом скорость увеличивается, они постепенно заполняют все море, но все равно это распределение весьма и весьма неоднородное и случайное.

Здесь это, по крайней мере, видно и можно построить теорию всего этого дела. А для вихревой турбулентности этот вопрос остается открытым.

А.Г. Вы хотели рассказать о девятом вале.

В.З. Девятый вал – это действительно совершенно разумный вопрос. Потому что если вы посмотрите запись волн в таком достаточно стандартном волнении, то увидите, что волны не равны друг другу, они разные – есть распределение. Период этого распределения более или менее известен, он связан с тем, что строго периодическая волна неустойчива, она из себя рождает модуляцию. Это и есть так называемая модуляционная неустойчивость.

А вот сейчас вы видите развитие опрокидывания волны большой амплитуды. Здесь виден характерный клювик, а на нем очень сильная двухфазная турбулентность. Там воздух с водой перемешан – это и приводит к тому, что возникают волны большой амплитуды. В этом смысле девятый вал – это наблюдение над реальностью, взятое из природы. Но там есть еще более интересный вопрос, вязанный с тем, что иногда возникают волны просто очень большой амплитуды.

А.Г. Те самые freakwaves.

В.З. Те самые freakwaves. Эти волны бывают очень большой амплитуды, они могут превышать по высоте, скажем, среднюю амплитуду в 4-5 раз.

А.Г. Откуда они взялись?

В.З. Этот вопрос до сих пор остается открытым. Потому что на самом деле слабая турбулентность, волновая турбулентность имеет ограниченную область применимости. Скажем так, она описывает явление в среднем. Но, кроме того, бывают такие редкие явления, которые уже не поддаются этому описанию.

Есть функция распределения вероятности высоты волны. Для большинства волн она гауссова. Близка к гауссовому, к нормальному распределению. И эта часть описывается слабой турбулентностью прекрасно. Но есть своего рода «хвосты» у функции распределения, это весьма редкое явление, и они сильно негауссовы. Именно в этих хвостах и сидят эти самые freakwaves. Как возникают эти хвосты – чрезвычайно интересная задача. Я собираюсь ей заниматься в ближайшее время. Потому что здесь методы слабой турбулентности уже явно недостаточны. Мы встречаемся здесь с трудностями, сходными с теми, которые имеются в теории вихревой турбулентности. При этом надо сказать, что это, конечно, связано с океанскими течениями. Потому что существуют такие зоны в океане, куда вообще корабли стараются не заходить. Например, в Африке, к западу от Кейптауна есть такая зона, где все время возникают freakwaves. Это связано с тем, что там есть градиенты течения, это не чисто волновая система, они еще взаимодействуют с океанскими течениями. И там очень часты катастрофы. Эта freakwaves может деформировать, скажем, палубу у авианосца. Это очень серьезная штука. Если эта волна в 20 метров…

А.Г. Когда я задавал вам вопрос в самом начале, в чем же состоит тайна турбулентности, я ожидал не только математического или физического обоснования загадочности этого явления. Есть нечто, вероятно, что выносит эту проблему за рамки математики и физики. Вы сами для того, чтобы ее проиллюстрировать, выбрали аналогию города, людей, отношений и денег. У меня готов вопрос о социальной турбулентности, потому что уж очень явления переселения народов, образования государств, изменения условий жизни похожи на хаотические вихревые, скажем, классические турбулентности. Вы не находите?

В.З. Вы знаете, эти явления действительно близки к области описываемой теорией турбулентности, но все-таки они отдельны от нее. Это так называемые системы с сильной диссипацией. Да, в общем, некоторые модели турбулентности могут быть прямо применимы к описанию социальных явлений, хотя, может быть, специалисты по социальным явлениям будут возражать, считая эти модели слишком простыми. Но аналогия действительно есть, и я сам на это с большим интересом обратил внимание.

Какое-то количество лет назад я со своими учениками занимался турбулентностью в плазме. И мы обнаружили, что можно построить модели даже более простые, чем классические модели волновой турбулентности – модели конкуренции мод. Скажем, в лазере, у вас есть первоначально некоторая спектральная линия. Если излучает один атом, то он излучает достаточно широкий спектр излучения, у него форма линии. Но если много атомов поместить вместе и осуществить накачку, то есть сделать систему сильно неравновесной, так что она начнет генерировать лазерный свет, то в результате возникнет очень узкая спектральная линия, значительно более узкая, чем линия…

А.Г. Одного отдельного атома.

В.З. Да. А почему? Потому что все спектральные моды конкурируют друг с другом, и в результате одна из них побеждает все остальные. И когда вы напишете эту модель, то с удивлением обнаружите, что можете дать ей немедленно социологическое обоснование, как некоторой модели конкуренции, скажем, игры на бирже. И потом можно изучить ее стационарное решение и сделать некоторые предположения, которые уже не нравятся, скажем, социологам. Хотя я докладывал эту работу у социологов, у экономистов, точнее. Она вызвала у них довольно большой интерес, сейчас есть ее последователи в Германии. Получается, что это модель либеральной экономики, хотя, конечно, и чрезвычайно упрощенная модель либеральной экономики. В этой модели либеральной экономики, когда вы изучаете ее равновесие, то выясняется, что в результате такой конкуренции капиталы концентрируются в нескольких руках. Это довольно грубый математический факт. Он, конечно, основан на сильных предположениях об аналитичности функций, которыми это описывается, а это вызывает сомнение, но, тем не менее, это довольно-таки фундаментальный математический факт.