Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Josep Carrera

В предложениях 84 и 85 этого трактата решаются уравнения второго порядка ах ± х² = b² так же, как это делали месопотамские математики (мы увидим это в главе 4), когда решали следующую систему уравнений:

у±х = а,

ху = b².

В сочинении «О делении фигур» рассматривается деление заданной фигуры одной или несколькими прямыми, «соблюдая некоторые условия», чтобы площади получившихся частей соотносились друг с другом определенным образом. Например, требуется произвести следующее деление:

Задача 20. Отделить треть треугольника ААВС с помощью прямой, которая проходит через точку D внутри треугольника.

Такие геометрические задачи скорее вписываются в математическую традицию Вавилона, чем в изложенную в «Началах». Фрагменты этого сочинения, известные нам, взяты из латинского перевода 1563 года и арабского перевода, обнаруженного в Париже в 1851 году. Единственные четыре предложения с доказательствами напоминают предложения из «Начал». Всего в сочинении содержится 36 предложений.

Сочинение «Псевдария» также не дошло до наших дней. О нем рассказывает Прокл:

«Это сочинение, в котором он дает нам такую подготовку, он назвал «Ложные умозаключения» и в нем перечислил в должном порядке их виды, дал нашей мысли упражнения в каждом виде, противопоставил лжи истину и дал опровержение лжи соответственно со способом ее проведения. Таким образом, эта книга — очистительная, имеющая целью упражнение, а «Начала» содержат неопровержимое и совершенное изложение самого научного рассмотрения предмета геометрии».

Конические сечения (или просто коники) являются пересечением конуса (двойного) с плоскостью. Тип сечения зависит от угла плоскости. Как видно на рисунке 1, если плоскость параллельна оси конуса, мы получаем гиперболу ( состоящую из двух ветвей), если плоскость параллельна образующей конуса, то параболу, а в других случаях — эллипс (включая окружность как частный случай). На рисунке 2 изображены различные конические сечения в зависимости от соотношения фокуса и директрисы.

РИС. 1

РИС. 2

Это был самый настоящий учебник, об утере которого можно только сожалеть, так как он прояснил бы, какие ошибки Евклид считал геометрическими, а какие — логическими.

Еще одно утерянное сочинение, которое цитирует Папп, — «Поверхностные места». Содержание этого свода текстов по высшей геометрии было гораздо сложнее, чем в «Началах». Как говорит Папп, в нем рассматривались «места, а точнее положение, линии или фигуры, точки которых обладают некоторым свойством» и «построение таких мест», то есть линий, например квадратрисы, цилиндрической спирали и подобных, или таких фигур, как конусы, цилиндры, сферы или полученные путем вращения конических сечений (эллипса, гиперболы и параболы). В сочинении дается такая классификация конических сечений по соотношению фокуса и директрисы, при которой не нужно прибегать к трехмерному пространству:

«Геометрическое место точек, при котором отношение между расстоянием от заданной точки [фокусом] и от заданной прямой [директрисой] остается постоянным, является коническим сечением: эллипсом, параболой или гиперболой в зависимости от того, меньше, равно или больше единицы это расстояние».

Сочинение «Поризмы» включало 171 предложение, 38 лемм и 29 классов поризмов. Специалисты считают, что потеря этого труда является большой утратой. Евклид рассказывает о том, как можно получить неопределенные геометрические объекты, когда не заданы все их необходимые характеристики. Таким образом, поризм — это гибрид проблемы и теоремы: можно установить его наличие, но невозможно его продемонстрировать, так как он неопределен. В «Началах» термин «поризм» употребляется в значении непосредственного следствия из только что доказанной теоремы.

О «Конических сечениях» Франсиско Вера, переводчик «Начал» на испанский язык, пишет:

«...об их содержании мы можем только строить догадки. Современные критики полагают, что они были адаптацией сочинения Аристея на ту же тему и на основе него впоследствии написал свой трактат Аполлоний. Архимед несколько раз упоминает о различных свойствах конических сечений, которые, как он считал, были включены в сочинение Евклида».

Портрет работы фламандского художника Юстуса ван Гента называется «Евклид из Мегары» (1474), хотя на самом деле на нем изображен Евклид Александрийский.

Обложка «Математического собрания» Паппа Александрийского, издание 1589 года.

Марка Республики Сьерра Леоне с фрагментом «Афинской школы» Рафаэля, на которой изображен Евклид, делающий измерения циркулем.

«Оптика» имеет такую же структуру, как «Начала». В восьмом предложении Евклид дает геометрическое доказательство того, что видимые размеры двух равных и параллельных фигур обратно пропорциональны расстоянию от них до глаза. Возьмем два равных отрезка АВ и GD, расположенных на разном расстоянии от глаза Е. Проведем отрезки АЕ и EG. Взяв Е в качестве центра и EZ — за радиус, проведем часть окружности HZF. Треугольники EZG и EZD больше и меньше круговых секторов EZH и EZF соответственно.

Соотношение

ΔEZG/сектор (EZH) > ΔEZD/сектор (EZF)

Подставив другие значения, получаем

ΔEZG/ΔEZD > сектор (EZH)/сектор (EZF)

И объединив их, получаем

ΔEZG/ΔEZD = ΔEZG/ΔEZD + 1 > сектор (EHF)/сектор (EZF) = сектор (EZH)/сектор (EZF) + 1

Но ΔEZG/ΔEZD = GD/DZ = AB/DZ, поскольку GD=AB.

Поскольку AB/DZ = BE/ED получим:

BE/ED > сектор (E/HF)/сектор (EZF)

Соотношение между двумя отрезками одной окружности равно соотношению между соответствующими углами, то есть

BE/ED > (<НЕF)/(<ZEF) .

Этот труд также был утерян. Возможно, он был сводом всех знаний того времени о конических сечениях и имел педагогическую направленность.

Во введении мы сказали, что Пифагор выделял четыре математы. Евклид должен был рассмотреть их все, если хотел предложить полный образовательный курс математики. Неудивительно, что ему приписываются следующие тексты.

Законы природы — это математические мысли бога.

Евклид

«Явления» — книга о началах астрономии, где описывается видимая часть движущейся небесной сферы (кроме движения планет). В ней рассматриваются восходы и закаты звезд и подразумевается, что читатель знаком с основами сферической геометрии, которая не объясняется в «Началах». Небольшой трактат «Начала музыки», об авторстве которого нет точных сведений, содержит теорию музыкальных интервалов, изложенную в духе пифагорейской школы. «Оптика» — сочинение о перспективе, в котором, как и в «Явлениях», ставится вопрос о нашем знании того, что мы видим. Его цель — установить размеры видимого в зависимости от положения наблюдателя и от масштабов наблюдаемого объекта. Евклид утверждал, что видимость создается по направлению от глаза к предмету, что считалось верным, пока арабский эрудит аль-Хайсам (965-1039) в своем труде «Китаб аль-Маназир» («Книга оптики») не заявил прямо противоположное: мы видим, поскольку глаз получает один или несколько лучей света, отражаемых предметом. Несмотря на это книга Евклида считается одним из важнейших трудов по оптике из тех, что предшествовали работам Ньютона, а такие мыслители Возрождения, как Филиппо Брунеллески, Леон Баттиста Альберти и Альбрехт Дюрер, опирались на Евклида при разработке собственных трактатов о перспективе.

Авторство «Катоптрики» весьма спорно. Тем не менее необходимо сказать, что в ней приведено строгое геометрическое доказательство закона отражения света. Он гласит, что солнечные лучи отражаются под равными углами относительно горизонтальной (или вертикальной) оси. На примере рисунка 1 угол падения 0 равен углу отражения Евклид основывается на геометрическом предложении из Книги 1 «Начал»:

РИС.1

РИС. 2

Предложение 20 .В любом треугольнике сумма двух его сторон больше третьей стороны.

Оно доказывается следующим образом. Если отраженный луч образует два равных угла, мы получим отрезки АС и СВ если же эти углы не равны, то мы получим отрезки AD и DB. Проведем прямую СЕ, симметричную отрезку АС, и прямую DE, симметричную отрезку AD. Получим треугольник BED, где сторона BE короче суммы сторон BD и DE. Сумма отрезков АС и СВ меньше, чем сумма AD и DB (см. рисунок 2).