Большая Советская Энциклопедия (ОБ) - БСЭ БСЭ

  Исторически процесс развития понятий и теорий выражается в приращении знания посредством цепей обобщений, звеньями которых служат О. 1-го или 2-го типов. В цепях О. отражаются последовательные связи сущностей 1-го с сущностями 2-го, 3-го и так далее порядков. Эти связи различны, и в зависимости от их характера им соответствуют или цепи О. с сохраняющейся семантикой исходных концептов или, напротив, изменяющие первичную семантику. Примером может служить последовательное О. понятия числа путём построения систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Для этой цепи, сохраняющей первичную семантику, характерны такие расширения исходной области, которые удовлетворяют принципу постоянства формальных законов, согласно которому законы операций, определяемых для элементов исходной области, при всех последующих её расширениях должны сохраняться и для новых элементов. Эта цепь, однако, не может быть сколь угодно продолжаемой. Уже арифметика трансфинитных количественных чисел не удовлетворяет вышеназванному принципу, но возникающий при этом переход к общему понятию количественного числа приводит и к новому пониманию арифметики натуральных чисел как арифметики мощностей конечных множеств. Примером цепи О. 2-го вида может служить переход от классической логики к интуиционистской (см. Логика), а также последовательный переход от классической механики к релятивистской механике и общей теории относительности. В подобных переходах более общая теория может иметь законченную формулировку независимо от менее общей, но она должна содержать в себе последнюю в качестве предельного случая, что составляет основное содержание принципа соответствия для цепей О. с изменяющейся первичной семантикой.

  Лит.: Пойа Д., Математика и правдоподобные рассуждения, пер. с англ., М., 1957; Давыдов В. В., Виды обобщения в обучении, М., 1972; Сачков Ю. В., Процессы обобщения в синтезе знаний, в кн.: Синтез современного научного знания, М., 1973, с. 421—46; Матюшкин А. М., Новосёлов М. М., Виды обобщения и проблемы психологии обучения, «Вопросы психологии», 1974, № 2.

  Ф. В. Лазарев, М. М. Новосёлов.

Обобщённые импульсы

Обобщённые и'мпульсы, физические величины pi, определяемые формулами: pi =  или pi = , где Т — кинетическая энергия, a L — Лагранжа функция данной механической системы, зависящие от обобщённых координат qi, обобщённых скоростей , и времени t. Размерность О. и. зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность qi — длина, то pi имеет размерность обычного импульса, т. е. произведения массы на скорость; если же координатой qi является угол (величина безразмерная), то pi имеет размерность момента количества движения и т.д.

Обобщённые координаты

Обобщённые координа'ты, независимые между собой параметры qi (r = 1, 2,..., s) любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механич. системы и которые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s уравнениями вида qi = qi (t), где t — время. О. к. пользуются при решении многих задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число уравнений, описывающих движение системы, по сравнению, например, с уравнениями в декартовых координатах (см. Лагранжа уравнения в механике). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физические поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, называются потенциалами, волновыми функциями и т.п.

Обобщённые силы

Обобщённые си'лы, величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате qi соответствует своя О. с. Qi. Значение О. с. Qi, соответствующей координате qi, можно найти, вычислив элементарную работу dA1 всех сил на возможном перемещении системы, при котором изменяется только координата qi, получая приращение dq1. Тогда dA1 = Q1dq1, т.е. коэффициент при dqi в выражении dA1 и будет О. с. Q1. Аналогично вычисляются Q2, Q3,..., Qs. Например, если для лебёдки (рис.) вместе с поднимаемым ею на тросе грузом весом Р (система с одной степенью свободы) принять за обобщённую координату qi угол j поворота вала лебёдки и если к валу приложены вращающий момент Мвр и момент сил трения Мтр, то в данном случае dA1 = (Мвр—Мтр—Pr)dj, где r — радиус вала (весом троса пренебрегаем). Следовательно, для этой системы О. с., соответствующей координате j, будет Q1 =Мвр—Мтр—Pr.

  Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность qi — длина, то Qi имеет размерность обычной силы; если qi — угол, то Qi имеет размерность момента силы и т.д. При изучении движения механической системы О. с. входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнения механики, а при равновесии все О. с. равны нулю. Например, для рассмотренной выше лебёдки при равномерном подъёме груза должно быть Qi = 0, т. е. Мвр = Мтр + Pr.

  С. М. Тарг.

Рис. к ст. Обобщённые силы.

Обобщённые функции

Обобщённые фу'нкции, математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие О. ф., с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, О. ф. служат удобным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Поэтому в иностранной литературе О. ф. называют распределениями.

  О. ф. были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и её производных. Основы математической теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория О. ф. имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.

  Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространством основных функций j(x). Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида

(f, j) = òf (x)j(x) dx.     (1)

  Произвольная О. ф. f определяется как функционал f’, задаваемый равенством

(f¢, j) = ‑ (f, j¢).     (2)

  При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x), так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

  Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.