10 ЗАПОВЕДЕЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ИДЕИ XX ВЕКА - Чарльз Флауэрс

Когда в XIX веке известный венгерский математик Янош Бойяи (1802-1860) решил посвятить свою деятельность проверке постулата Евклида о параллельных прямых, его отец (тоже известный математик Фаркаш Бойяи) прислал сыну письмо с предостережением, которое давно вошло во многие книги по истории математики: «… Ради Бога, прекрати заниматься этой задачей,…она может занять тебя целиком, погубить здоровье, лишить мысленного покоя и жизненного счастья…». Опасности такого рода не испугали Уайлса в начале его исследований, а удача приходит, как известно, только к тем, кто рискует. Поэтому не стоит удивляться, что однажды в случайном разговоре с коллегой он узнал, что кто-то обнаружил связь между мучившей его с детства теоремой Ферма и одним из новейших математических открытий. Новость поразила и обрадовала Уайлса, который позднее написал: «…я вдруг почувствовал свое преимущество в том, что занимаюсь проблемой, которую все остальные либо игнорируют, либо считают неразрешимой». Дальнейшая история проблемы изложена в нескольких известных книгах (отметим лишь «Великую теорему Ферма» Саймона Сингха и «Последнюю теорему Ферма» Амира Д. Акцеля), где подробно описано, как профессор Принстон-ского университета «ушел в подполье», сумел за короткое время, буквально скрываясь от коллег, объединить целый ряд сложных математических результатов (до этого казавшихся всем разобщенными) и довести доказательство теоремы Ферма до блестящего конца. Позднее Уайлс так объяснял свое поведение: «…наличие многочисленных зрителей лишь отвлекает от работы, тем более что я давно знал, какой ажиотаж возникает при одном лишь упоминании теоремы Ферма».

Используя голливудский жаргон, можно сказать, что в 1954 г. два молодых японских математика Горо Симура и Ютака Танияма буквально «спелись» в библиотеке Токийского университета, заказав одновременно одну и ту же статью из немецкого математического журнала. Позднее они стали знаменитыми, разработав так называемую «гипотезу Таниямы-Симуры», а некоторая театральность и мелодраматичность их встречи позднее откликнулись трагической судьбой самого Таниямы (изящно сложенный и известный богемным поведением Танияма покончил с собой в 1958 г., вслед за самоубийством своей невесты).

Этим двум великолепным математикам удалось развить теорию так называемых модулярных форм, т. е. некоторых симметричных объектов в четырехмерном пространстве-времени, открытых еще в XIX веке и имеющих самые разнообразные виды и размеры. Их нельзя изобразить или представить в привычном трехмерном пространстве, что, естественно, не мешает проведению тщательного математического описания. Такие формы могут быть представлены в виде «решеток», массивов или рядов, члены которых зависят от характеристических параметров, причемчисло последних может изменяться от нуля до бесконечности. Предложенных кратких и несложных объяснений читателю должно хватить для понимания общих результатов, которыми японские математики ошеломили всех своих коллег.

Гипотеза Таниямы-Симуры заключалась в том, что такие модулярные формы, представляющие собой, строго говоря, довольно редкий тип объектов, имеют отношение к одной из самых старых и тщательно изученных областей математики, а именно к теории эллиптических кривых, и описывают эти кривые уравнениями, с которых вот уже сотни лет студенты начинают изучение высшей математики. Не имея никаких доказательств и полагаясь в основном лишь на интуицию Таниямы, они предположили, что каждому набору эллиптических уравнений должен соответствовать, подобно отражению в зеркале, некий набор или ряд модулярных форм. Другими словами, каждая конкретная модулярная форма, заданная на комплексной плоскости в гиперболическом четырехмерном пространстве, содержит в себе набор всех решений какой-то конкретной системы эллиптических уравнений.

Из этого логически вытекало, что любое эллиптическое уравнение должно входить в состав какой-то модулярной формы, в противном случае уравнение не имело бы права на существование. Честно говоря, математическая общественность встретила гипотезу с удивлением, недоумением и явной подозрительностью. Интуитивно казалось, что это предположение, названное позднее предположением Таниямы-Вейля-Симуры, вследствие разгоревшейся дискуссии о приоритете, действительно может стать ключом к доказательству теоремы Ферма, однако долгое время никому не удавалось доказать само утверждение и связать его строгим образом с теоремой. Ситуация изменилась лишь в 1984 г., когда немецкому математику Герхарду Фрею удалось найти преобразование любой тройки пифагоровых чисел в соответствующее эллиптическое уравнение. При этом Фрей полагал, что теорема Ферма является неверной, т. е. полученное Фреем уравнение было прямо противоположно по смыслу утверждению Ферма. Если это эллиптическое уравнение было точным, то ему, по идее Таниямы-Симуры, должна была соответствовать некоторая модулярная форма, что и опровергало теорему Ферма (разумеется, при условии справедливости самой гипотезы японских математиков!). Именно это рассуждение вызывало интерес Уайлса и позволило ему связать воедино все результаты.

Для удобства читателя мы перечислим основные положения. Ферма утверждал, что не существует чисел п › 2, образующих пифагоровы тройки чисел, и он может доказать это каким-то удивительно простым способом. Японский математический дуэт предположил, что каждому эллиптическому уравнению соответствует эквивалентная модулярная форма. Фрей, считая теорему Ферма неверной, т. е. допуская наличие чисел п › 2, образующих пифагоровы триады, получил некое эллиптическое уравнение и эквивалентную ему модулярную форму. Таким образом, проблема сводилась к оценке и проверке полученного эллиптического уравнения, которому соответствовала так называемая кривая Фрея.

К этому моменту в дискуссию по поводу теоремы Ферма неожиданно подключился математик Кен Рибет. По иронии судьбы, именно он когда-то упомянул в разговоре с Уайлсом работу Фрея. До этого Рибет не воспринимал результаты Фрея серьезно и, более того, вообще относился к теореме Ферма без уважения, считая, что ее доказательство «не имеет никакого реального значения». Однако после 1985 г. он тоже «заразился» этой проблемой, сумел детально проанализировать странную кривую, полученную Фреем, и уже в 1987 г. доказал, что соответствующее эллиптическое уравнение в действительности не являлось модулярным. Таким образом, вновь возникла исходная ситуация – если гипотеза японских математиков корректна, то теорема Ферма также справедлива. Для полноты картины отметим, что в доказательствах и спорах участвовало множество дополнительных персонажей, а выкладки на каждом этапе занимали сотни страниц, заполненных сложнейшими формулами. Однако все это еще не позволяло ученым опровергнуть, найти или просто приблизиться к решению, которое когда-то нашел (если это действительно имело место) великий математик-любитель Ферма.

Узнав о работах Рибета, Уайлс включился в «гонку» весьма серьезно и посвятил этой задаче следующие шесть лет своей жизни. Вскоре ему стало ясно, что предположение Таниямы-Симуры является недостаточно корректным, и на самом деле модулярными являются не все эллиптические уравнения и кривые, а лишь некоторые их наборы. Однако проблема продолжала казаться неразрешимой, несмотря на множество блестящих новых достижений как самого Уайлса, так и других математиков.

В 1993 г. Уайлс взял в сотрудники еще одного специалиста по теории чисел из Принстона, славящегося своей надежностью в работе и молчаливостью Ника Каца (про таких людей Линдон Джонсон сказал когда-то свою знаменитую фразу о друзьях, с которыми «не страшно отправиться даже в преисподнюю!»). Выбор объяснялся тем, что Уайлс, почувствовав возможность успеха, начал тщательно скрывать от всех свою увлеченность теоремой Ферма. Позднее, ближе к концу исследований (но на тех же условиях полной конспирации), к ним присоединился еще один коллега. Ради справедливости следует особо отметить, что Уайлс работал в одиночку, пользуясь лишь собственной интуицией, а помощники требовались ему лишь для проверки результатов и технических заданий.

Случайная публикация в математическом журнале навела Уайлса на мысль, что доказательство модулярности эллиптических кривых может быть обобщено на некоторые другие классы кривых, что сразу позволило ему объединить в единое целое множество уравнений и утверждений, связанных с гипотезой Таниямы-Симуры и с теоремой Ферма, в конечном счете. Уайлс показал, что существование кривой Фрея в ее исходном варианте не противоречит теореме Ферма и ее можно включить в класс эллиптических уравнений, обладающих модулярной формой (напомним, что именно невозможность существования кривой Фрея служила опровержением теоремы Ферма). Для выписывания всех относящихся к делу выкладок Уайлсу понадобилось около 200 страниц, но он мог считать свою задачу выполненной. Позднее он писал, что «доказательство последней теоремы вызвало грустное чувство, так как многие из нас уже привыкли к существованию проблемы и рассматривали ее решение скорее в качестве несбыточной мечты, чем конкретной цели».