Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Дербишир Джон

В 1827 году, по достижении 22 лет, Дирихле вернулся в Германию и начал преподавать в университете Бреслау в Силезии. (Бреслау в настоящее время находится в Польше и на современных картах фигурирует под именем Вроцлава.) Он получил там должность при поддержке и поощрении Александра фон Гумбольдта — исследователя и путешественника, приходившегося братом Вильгельму. Оба брата фон Гумбольдт играли ключевую роль в культурном развитии Германии в начале XIX столетия.

Однако за пределами Берлина немецкие университеты находились в состоянии, описанном в главе 2.vii, занимаясь в основном подготовкой учителей, адвокатов и т.п. Разочаровавшись в Бреслау, Дирихле получил должность в Берлине, где и провел, преподавая, большую часть своей профессиональной жизни (с 1828 по 1855 год). Среди тех, кого он учил, был блестящий молодой ученый из местности Вендланд на севере Германии — Бернхард Риман, перешедший из Геттингенского университета в погоне за наилучшим математическим образованием. В главе 8 мы гораздо более подробно рассмотрим влияние, которое Дирихле оказал на Римана, а здесь лишь упомянем об этой связи и о том, что благодаря ей Риман приобрел глубокое уважение к Дирихле, считая его вторым по величине математиком после Гаусса.

Дирихле женился на Ребекке Мендельсон, одной из сестер композитора Феликса Мендельсона, образовав одну из многочисленных взаимосвязей между Мендельсоном и математикой.[54]

Сохранились некоторые записки о Дирихле и о стиле, в котором он читал лекции в годы своего пребывания в Берлине. Записки эти оставлены Томасом Херстом — англичанином, который занимался математикой, вел дневники и провел значительную часть 1850-х годов, путешествуя по Европе и принимаясь изучать математику везде, где это ему удавалось. Осень и зиму 1852-1853 года он провел в Берлине, где свел дружбу с Дирихле и стал посещать его лекции. Из дневника Херста:

31 октября 1852. Нельзя превзойти Дирихле в отношении богатства материала и ясного понимания его сути; но как оратор он не обладает особыми достоинствами — он не производит впечатление человека, хорошо владеющего речью. Однако же ясный взгляд и понимание предмета это компенсируют: если специально за этим не следить, то на его неровную речь и не обратишь внимания. У него такая своеобразная черта — он не видит своей аудитории: когда он не пишет на доске (и посему не стоит к нам спиной), он сидит за своей высокой кафедрой лицом к нам, подняв очки на лоб и оперев голову на обе руки; при этом, если глаза его не прикрыты руками, он держит их по большей части закрытыми. Никакими заметками он не пользуется, а загородившись руками, видит на них воображаемое вычисление, читая его нам вслух, чтобы мы смогли понять его так, как если бы тоже его видели. Мне импонирует такая манера чтения лекций.

14 ноября 1852. <…> Вечер среды я провел у Дирихле: снова встретил миссис Дирихле и узнал, что она — сестра Мендельсона; она сыграла мне несколько пьес своего брата, которые я слушал с большой охотой.

20 февраля 1853. <…> У Дирихле свои причуды, одна из которых — забывать о времени. Он вытаскивает свои часы, выясняет, что уже четвертый час, и убегает, даже не закончив фразы.

VIII.

Определяющая роль Дирихле в том, что относится к нашему рассказу, состоит в следующем. Вдохновленный результатом, доказанным Эйлером ровно за сто лет до того, — результатом, который я отныне буду называть Золотым Ключом, — Дирихле в 1837 году свел вместе идеи из анализа и арифметики для доказательства важного результата о простых числах. Этот момент многими рассматривается как начало аналитической теории чисел — арифметики с пределами. Открывшая новые горизонты работа Дирихле называлась, уж извините, Beweis des Satzes, doss jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Gleid und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sindf unendlich viele Primzahlen enthält — «Доказательство теоремы о том, что каждая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются целыми числами без общего делителя, содержит бесконечно много простых чисел».

Возьмем любые два целых числа и будем последовательно прибавлять одно к другому. Если наши два числа имеют общий делитель, то каждое из получающихся чисел тоже будет иметь этот делитель: например, последовательное прибавление числа 6 к 15 даст числа 15, 21, 27, 33, 39, 45, …, каждое из которых делится на тройку. Но если два исходных числа не имеют общего делителя, то в получающемся списке могут попадаться и простые числа. Например, будем последовательно прибавлять 6 к 35: получим 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, …, где масса простых (вперемешку, разумеется, с массой не простых, таких как 65 или 77). А как много простых? Может ли такая последовательность содержать бесконечно много простых чисел? Другими словами, может ли случиться так, что для любого сколь угодно большого числа N нам удастся получить более чем N простых чисел, достаточно долго прибавляя для этого 6 к 35? А может ли любая подобная последовательность, построенная из двух чисел без общего делителя, содержать бесконечно много простых чисел?

Да. Может. И именно так дело и обстоит. Возьмем любые два числа без общего делителя и будем последовательно прибавлять одно к другому. Получим бесконечно много простых чисел (наряду с бесконечно большим количеством не простых). Гаусс высказал предположение, что так должно быть, — зная мощь Гаусса, хочется сказать, что он это чувствовал интуитивно, — но твердо доказал это Дирихле в той работе 1837 года. Именно в доказательстве, которое привел Дирихле, реализовалась первая часть того самого великого соединения.

На самом деле все даже еще интереснее. Возьмем любое положительное целое число, скажем, 9. Как много чисел, меньших, чем 9, не имеют общего делителя с девяткой (единица не считается за делитель)? Таких чисел шесть — это 1, 2, 4, 5, 7, 8. Будем по очереди брать каждое из них и последовательно прибавлять к нему девятку.

1: 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100, 109, 118, 127… 2: 11, 20, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 101, 110, 119, 128… 4: 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, 121, 130… 5: 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95, 104, 113, 122, 131… 7: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, 88, 97, 106, 115, 124, 133… 8: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 89, 98, 107, 116, 125, 134…

Каждая из этих шести последовательностей содержит не просто бесконечно много простых чисел (выделены жирным), но и одну и ту же долю простых чисел. Другими словами, представим себе, что последовательности продолжены до окрестности какого-то очень большого числа N, а не просто до окрестности числа 134; тогда каждая последовательность будет содержать примерно одно и то же количество простых чисел, причем если верна Теорема о распределении простых чисел, то около 1/6(N∙ln N) (впрочем, эта теорема еще не была доказана во времена Дирихле). Если N — это 134, то 1/6(N∙ln N) составляет около 4,55983336…. Приведенные выше шесть последовательностей содержат 5, 5, 4, 5, 4 и 5 простых чисел, что дает среднее 4,6666… — на 2,3 процента больше, чем утверждается, что совсем неплохо для такой маленькой выборки.

Для доказательства своего результата Дирихле начал с арифметики в той форме, в какой она была подробно развита Гауссом в Disquisitiones Arithmeticae. Математики называют ее «арифметикой сравнений». Ее можно представлять себе как арифметику циферблата. Временно заменим 12 на циферблате часов на 0. Двенадцать часовых отметок на циферблате теперь имеют вид 0, 1, 2, 3, …, 11. Если времени сейчас восемь часов, а вы прибавите 9 часов, то что получится? Ага, вы получите пять часов. В данной арифметике, таким образом, 8 + 9 ≡ 5. Или, как это выражают математики, 8 + 9 ≡ 5 (mod 12), что читается как «девять плюс восемь сравнимо с пятью по модулю 12». Фраза «по модулю двенадцати» означает «я определяю результаты по циферблату с 12 часовыми отметками, от 0 до 11». Это может показаться тривиальным, но в действительности арифметика сравнений уходит очень глубоко и полна странных и трудных результатов. Гаусс был в ней великим гроссмейстером; ни одна из семи глав Disquisitiones Arithmeticae не обходится без знака ≡.