Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Стюарт Иэн

Как знает из собственного горького опыта каждый профессиональный математик, очень трудно заметить, что вы делаете неявное предположение, — трудно в первую очередь потому, что оно делается неявно.

Руффини родился в 1765 году в семье врача. В 1783-м он поступил в университет Модены, где изучал медицину, философию, литературу и математику. Геометрии он учился у Луиджи Фантини, а анализу — у Паоло Кассиани. Когда Кассиани переехал, чтобы занять при семействе Эсте должность управляющего их обширными владениями, Руффини — в тот момент еще студент — взял на себя курс анализа, который читал Кассиани. В 1788 году он получил степень по философии, медицине и хирургии, а степень по математике — в 1789-м. Вскоре после этого он сменил на профессорской должности Фантини, зрение которого быстро ухудшалось.

Ход его научных занятий был прерван течением мировых событий. Разбив в 1796 году войска Австрии и Сардинии, Наполеон Бонапарт обратил свой взгляд на Турин и захватил Милан. Вскоре он оккупировал Модену, и Руффини пришлось принять участие в политической деятельности. Вначале он собирался вернуться в университет в 1798 году, но по религиозным соображениям отказался приносить присягу республике. Воспоследовавшая незанятость оставила ему больше времени на исследования, и он целиком сосредоточился на все еще не урегулированном вопросе об уравнениях пятой степени.

Руффини убедил себя, что есть веская причина, по которой никому не удавалось найти решение: решения попросту не существует. А именно — нет формулы, включающей в себя только радикалы (а не что-то более эзотерическое), которая давала бы решение общего уравнения пятой степени. В своей двухтомной «Общей теории уравнений», опубликованной в 1799 году, он утверждал, что умеет это доказывать, заявляя, будто «алгебраическое решение общих уравнений степени большей четырех невозможно. Перед вами очень важная теорема, которую, как я полагаю, я, судя по всему, в состоянии доказать. Представить ее доказательство — главная цель публикации данного тома. Основы моего доказательства заложил своими высокими рассуждениями бессмертный Лагранж». Доказательство заняло более 500 страниц, в основном заполненных непривычной математикой. Другие математики нашли его несколько устрашающим. Даже в наши дни никто не горит желанием продираться через длинные технические доказательства, если только на то нет особых причин. Если бы Руффини сообщил, что нашел решение уравнения пятой степени, то его коллеги наверняка не поленились бы разобраться в его работе. Но можно понять их нежелание тратить сотни часов на то, чтобы вникнуть в отрицательный результат.

Особенно если учесть, что результат мог быть и неверным. Мало что раздражает так сильно, как нахождение ошибки на 499-й странице в 500-страничной книге по математике.

В 1801 году Руффини послал экземпляр Лагранжу, а по прошествии нескольких месяцев молчания — еще один экземпляр с припиской: «Если я допустил ошибку в каком-либо доказательстве, или если я утверждал что-то, что я считал новым, но оно в действительности таковым не является, или, наконец, если я написал бесполезную книгу, я умоляю вас откровенно высказаться по этому поводу». По-прежнему никакого ответа. Еще одна попытка в 1802 году. Ничего.

Несколько лет, прошедших без признания, Руффини воспринял как должное. Однако затем вместо ожидаемой славы стали распространяться неясные слухи, намекавшие, что в его «доказательстве» были ошибки. Поскольку же никто не объявил, в чем эти ошибки могли состоять, Руффини не имел шанса оправдаться. В конце концов он пришел к выводу — без сомнения, верному, — что доказательство было слишком сложным, и задался целью найти вариант попроще. Это ему удалось в 1803 году, когда он писал: «В настоящем мемуаре я попытаюсь доказать то же предложение, используя, как я надеюсь, менее трудную для понимания аргументацию, сохраняя при этом полную строгость». Новое доказательство было воспринято не лучше. Мир не был готов ни к прозрениям Руффини, ни к последующим доказательствам, опубликованным им в 1808 и 1813 годах. Однако он не оставлял усилий добиться от математического сообщества признания своей работы. Когда Жан Деламбр, предсказавший положение на небе планеты Уран, писал отчет о развитии математики за период начиная с 1789 года, он включил туда фразу «Руффини заявляет о доказательстве того, что решение уравнения пятой степени невозможно». Руффини незамедлительно ответил: «Я не только заявил о доказательстве, но и в самом деле это доказал».

Справедливости ради надо сказать, что небольшому числу математиков доказательство Руффини нравилось. Среди них был Коши, славившийся тем, что редко воздавал кому-либо по заслугам, если только эти заслуги не были его собственными. В 1821 году он писал Руффини: «Ваш мемуар по общему решению уравнений является работой, которая всегда представлялась мне заслуживающей внимания математиков и которая, по моему суждению, полностью доказывает невозможность решения алгебраических уравнений степени выше четвертой». Но похвала эта появилась уже слишком поздно.

Около 1800 года Руффини продолжал преподавать прикладную математику в городском военном училище. Он не оставлял и медицинской практики, причем среди его пациентов были люди от самых бедных до самых богатых. В 1814 году, после падения Наполеона, он стал ректором университета Модены. Политическая ситуация оставалась крайне сложной, и, несмотря на его высочайшую квалификацию и огромное уважение, которым он пользовался, а также репутацию безупречно честного человека, ему было весьма непросто оставаться на посту ректора.

В университете Модены Руффини одновременно заведовал кафедрами прикладной математики, практической медицины и клинической медицины. В 1817 году разразилась эпидемия тифа, и Руффини продолжал лечить своих пациентов, пока сам не заразился. Он выжил, но его здоровье было подорвано, и в 1819 году он оставил кафедру клинической медицины. Однако он никогда не прекращал научной работы и в 1820 году опубликовал статью о тифе, основанную на его собственном опыте и как врача, и как пациента. Он умер в 1822 году, всего около года спустя после того, как Коши письменно высоко отозвался о его работе по уравнениям пятой степени.

Одна из причин, по которой на работу Руффини смотрели несколько косо, могла состоять в ее новизне.

Как и Лагранж, он основывал свои исследования на концепции перестановки. Перестановка — это способ переупорядочить некоторый упорядоченный список. Самый расхожий пример перестановки — это перетасовка колоды карт. Цель в этом случае обычно состоит в достижении некоторого случайного, т.е. непредсказуемого, порядка. Число различных перестановок в колоде карт поистине огромно, так что вероятность предсказать появление того или иного порядка исчезающе мала.

В теории уравнений перестановки возникают потому, что корни данного многочлена можно рассматривать как список. Некоторые весьма фундаментальные свойства уравнений непосредственно связаны с эффектом перетасовки этого списка. Интуиция подсказывает, что уравнение «не знает», в каком порядке мы выписываем его корни, так что перестановка корней не должна приводить ни к каким серьезным различиям. В частности, коэффициенты уравнения должны быть полностью симметричными выражениями от корней — выражениями, которые не меняются, когда корни переставляют.

Однако, как ранее заметил и должным образом оценил Лагранж, определенные выражения от корней могут оказаться симметричными по отношению к некоторым, но не ко всем перестановкам. Эти «частично симметричные» выражения тесно связаны со всякой формулой для решения уравнения. Это свойство перестановок было известно коллегам Руффини. Гораздо менее известным было то, как систематически использовал Руффини другую идею Лагранжа — что можно «перемножить» две перестановки таким образом, что получится новая перестановка; для этого две данные перестановки надо выполнить одну за другой.

Рассмотрим три символа a, b и c. На них имеется шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab и cba. Возьмем одну из них, скажем, cba. На первый взгляд это просто упорядоченный список из трех символов. Однако его можно также воспринимать как правило переупорядочения исходного списка abc. В данном случае правило выражается как «обращение порядка». И это правило можно применять не только к данному, но и вообще к любому списку. Применив его, скажем, к bca, получим acb. Так что можно придать смысл умножению cba×bca = acb.